Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: apocalyptiq » 25 cze 2010, o 10:16

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^{2}}{2-x}}\)
Podaj przedział zbieżności otrzymanego szeregu oraz oblicz \(\displaystyle{ f^{(18)}(0)}\)
W jaki sposób zamienia się funkcję w szereg Mclaurina?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: luka52 » 25 cze 2010, o 10:59

To jest dość prosty przykład, w którym wystarczy znać wzór na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2-x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{2^n}}\)
Mnożąc całość przez \(\displaystyle{ x^2}\) otrzymamy żądane rozwinięcie.

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: apocalyptiq » 25 cze 2010, o 11:19

Dzięki!
A jeszcze, jak obliczyć \(\displaystyle{ f^{(18)}(0)}\)? To jest 18 wyraz tej sumy dla x=0?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: luka52 » 25 cze 2010, o 11:39

Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{18}}\) to ogólnie \(\displaystyle{ \tfrac{1}{18!} f^{(18)}(0)}\) - przyrównaj to do odpowiedniego współczynnika z otrzymanego rozwinięcia.

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: apocalyptiq » 25 cze 2010, o 11:50

Czyli to będzie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{18!} f^{(18)}(0) = \frac{x^{2}}{2} (\frac{x}{2})^{18}}\)
\(\displaystyle{ f^{(18)}(0) = \frac{x^{2}}{2} (\frac{x}{2})^{18}18!}\)
I to jest wynik?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: luka52 » 25 cze 2010, o 11:57

Nie, \(\displaystyle{ \frac{1}{18!} f^{(18)}(0) x^{18}= \frac{x^{2}}{2} (\frac{x}{2})^{16}}\).

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: apocalyptiq » 26 cze 2010, o 14:03

Czyli odpowiedzią ostateczną jest:
\(\displaystyle{ f^{(18)}(0)= \frac{x^{2}}{2} (\frac{x}{2})^{16}18!\frac{1}{x^{18}}}\)
?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: luka52 » 26 cze 2010, o 14:08

Tylko bez tych \(\displaystyle{ x}\).

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: apocalyptiq » 26 cze 2010, o 14:32

których x? jak wywalimy iksy, to zostanie tylko 18!

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: luka52 » 26 cze 2010, o 14:40

Przecież wszystkie iksy się uproszczą.

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: apocalyptiq » 26 cze 2010, o 14:55

A, czyli odpowiedzią będzie:
\(\displaystyle{ f^{(18)}(0)= \frac{18!}{2^{17}}}\)
?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: luka52 » 26 cze 2010, o 14:56

Właśnie tak.

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

Post autor: apocalyptiq » 26 cze 2010, o 15:05

Dzięki -- 26 czerwca 2010, 14:05 --Dzięki

ODPOWIEDZ