Rozwiązać równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
leehooker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 sty 2010, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mysłowice

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: leehooker » 24 cze 2010, o 23:17

Witam

Muszę rozwiążać rownanie różniczkowe. Przyznaję, że nie radzę sobie. Próbuje "skumać to" jakoś przerabiając książkę Włodarskiego.

Mógłby ktoś rozwiązać je KROK PO KROKU z możliwymi komentarzami?
Z góry dziękuję.

\(\displaystyle{ y'=\frac{y - x}{x}}\)
Ostatnio zmieniony 25 cze 2010, o 16:25 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów [latex] i [/latex] - zapis będzie czytelniejszy.

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: cosinus90 » 24 cze 2010, o 23:48

Po prawej rozbijasz ułamek na dwa inne, wykonaj podstawienie \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\) , zróżniczkuj stronami żeby otrzymać y' (pamiętając, że postaci funkcji u(x) nie znamy) - dalej powinieneś sobie poradzić :)

Awatar użytkownika
nemezis100807
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 30 mar 2009, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: nemezis100807 » 25 cze 2010, o 00:00

Masz tu równanie różniczkowe jednorodne, gdyż
\(\displaystyle{ y^{\prime}=\frac{y-x}{x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{x}=\frac{y}{x}-1}\).

leehooker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 sty 2010, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mysłowice

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: leehooker » 25 cze 2010, o 14:37

Hm. Raczej nie. Nie umiem "skapować" tej metody.
Jeśli ma ktoś czas - proszę o rozpisanie.

Z góry dziękuję

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: lukasz1804 » 25 cze 2010, o 16:40

Równanie można przedstawić równoważnie w postaci \(\displaystyle{ y'=\frac{1}{x}y-1}\). Jest to równanie liniowe niejednorodne. Rozważmy metodę rozwiązania opisaną w 100572.htm .
Mamy \(\displaystyle{ a(x)=\frac{1}{x}, b(x)=-1}\). Stąd \(\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx=\ln|x|, B(x)=\int b(x)e^{-A(x)}dx=\int -\frac{dx}{|x|}=\begin{cases} \ln(-x)\ \text{dla}\ x<0 \\ -\ln x\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\).
Ogół rozwiązań równania stanowią funkcje \(\displaystyle{ \varphi_C(x)=(B(x)+C)e^{A(x)}=\begin{cases} -x(\ln(-x)+C)\ \text{dla}\ x<0 \\ x(-\ln x+C)\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest pewną stałą.

choko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: choko » 6 mar 2012, o 19:27

Mam pytanie a czy sposób cosinus90'a jest zły?

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: lukasz1804 » 6 mar 2012, o 19:59

Też jest poprawny.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: mariuszm » 9 mar 2012, o 08:53

lukasz1804, tylko po co przedstawiac w takiej postaci ?
Nie lepiej w postaci \(\displaystyle{ y^{\prime}- \frac{1}{x}y=-1}\)

Wtedy widać że lewa (a właściwie prawa) strona równania przypomina pochodną iloczynu
Skoro lewa strona przypomina pochodną iloczynu to można albo pomnożyć równanie przez taką funkcję
aby rzeczywiście była ona pochodną iloczynu albo przedstawić szukaną funkcję za pomocą iloczynu dwóch innych funkcji
W obydwu przypadkach trzeba pomocniczo rozdzielić zmienne

ODPOWIEDZ