Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Φ(8) - Rozwiązane

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
black_and_white
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 22 kwie 2009, o 16:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Φ(8) - Rozwiązane

Post autor: black_and_white » 24 cze 2010, o 15:35

Witam,
W toku tzw. sesji przyszło mi zmierzyć się z następującym zadaniem:

Kod: Zaznacz cały

Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Φ(8)
Niestety, wszelkie próby rozwiązania tegoż zadania są torpedowane nie tylko mój kompletny brak wyobraźni, ale też z banalniej przyczyny.
Nie wiem/nie pamiętam jakie elementy może zawierać grupa Φ(8). Kojarzę że być może grupy Φ popełnił jegomość zwany Eulerem, ale złamanego pensa bym na taką tezę nie postawił.

Towarzysze! Pomożecie?

Z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 24 cze 2010, o 20:27 przez black_and_white, łącznie zmieniany 1 raz.

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Φ(8) - Rozwiązane

Post autor: BettyBoo » 24 cze 2010, o 16:28

\(\displaystyle{ \Phi(8)}\) to grupa, której elementami są wszystkie liczby naturalne mniejsze od 8 i względnie pierwsze z 8, natomiast działaniem jest mnożenie modulo 8 - zatem Twoja intuicja odnośnie Eulera jest jak najbardziej trafiona.

Pozdrawiam.

black_and_white
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 22 kwie 2009, o 16:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Φ(8) - Rozwiązane

Post autor: black_and_white » 24 cze 2010, o 18:06

Bardzo dziękuję za szybką odpowiedź.
Więc:
Φ(8) = {1,3,5,7}
Ale mogę się mylić .
Na pewno podgrupą jest sam zbiór Φ(8).
Inną podgrupą będzie zbiór zawierający tylko element neutralny(względem czego jeśli nie sprecyzowano w zadaniu? Nie ma 0, nie zdefiniowano żadnego "niestandardowego" działania, więc przyjmuję że działaniem jest mnożenie i elementem neutralnym jest 1?).
Jak znaleźć inne podgrupy?

Pozdrawiam!

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Φ(8) - Rozwiązane

Post autor: BettyBoo » 24 cze 2010, o 18:22

Jak pisałam, działaniem jest mnożenie modulo 8. Za dużo możliwości tutaj nie ma, jeśli chodzi o podgrupy. Zacznij od cyklicznych (i de facto na tym się skończy, ze względu na ilość elementów tej grupy oraz tw Lagrange'a).

Pozdrawiam.

black_and_white
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 22 kwie 2009, o 16:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Φ(8) - Rozwiązane

Post autor: black_and_white » 24 cze 2010, o 18:44

Więc wszystkie możliwe podgrupy to:
Φ(8), {1}, {1,3}, {1,5}, {1,7}

Zgadza się?

Dzięki wielkie za pomoc. Widzę, że będę musiał przyswoić informacje o podstawowym zbiorze grup, tak żeby wiedzieć jakie ich działania dotyczą .

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Φ(8) - Rozwiązane

Post autor: BettyBoo » 24 cze 2010, o 19:39

Zgadza się.

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ