Udowodnić wzory Viete'a

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
aska_511
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 20 lut 2010, o 14:46
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Udowodnić wzory Viete'a

Post autor: aska_511 » 24 cze 2010, o 12:20

Liczby \(\displaystyle{ x _{1} , x_{2}, x_{3} \in \mathbb{C}}\) są wszystkimi (niekoniecznie różnymi) pierwiastkami równania (2) z zachowaniem ich krotności wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą następujące wzory Viete'a:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=\frac{-a_{2}}{a_{3}}}\),
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{a_{1}}{a_{3}}}\),
\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=\frac{-a_{0}}{a_{3}}}\)
Niech
\(\displaystyle{ f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}, \ x\in \mathbb{C}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) są wszystkimi pierwiastkami równania (2), to
\(\displaystyle{ f(x)=a_{3}(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}\), dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{C}}\).
Stąd: \(\displaystyle{ f(x)=a_{3}x^{3}-a_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+a_{3}}\)\(\displaystyle{ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-a_{3}x_{1}x_{2}x_{3}, \ x\in \mathbb{C}}\).
Porównując współczynniki przy przy tych samych potęgach zmiennej x wielomianów (4) i (5) otrzymujemy wzory (3).

Niech \(\displaystyle{ f(x)=a_{3}(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}\) dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{C}}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) są wszystkimi zespolonymi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ f}\), z zachowaniem krotności. Dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{C}}\) mamy po uwzględnieniu wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ f(x)= a_{3}x^{3}-a_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+a_{3}}\)
\(\displaystyle{ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-a_{3}x_{1}x_{2}x_{3}
= a_{3}x^{3}-a_{3}(\frac{-a_{2}}{a_{3}})x^{2}+a_{3}(\frac{a_{1}}{a_{3}})x-a_{3}(\frac{-a_{0}}{a_{3}})
= a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)
.
Zatem \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) są wszystkimi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0, x\in C}\).

Ponoć druga implikacja jest źle bo nie można założyć postaci iloczynowej a trzeba to jakoś udowodnić!!! Jak to zrobić RATUNKU!!
Ostatnio zmieniony 24 cze 2010, o 13:08 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Między tagami [latex], [/latex] umieszczaj każde wyrażenie osobno. Do wycentrowania zapisu służy para tagów [center], [/center].

sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Udowodnić wzory Viete'a

Post autor: sushi » 24 cze 2010, o 12:25

zapisz to tam aby mozna bylo odczytac

-- 24 czerwca 2010, 12:07 --

\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)

\(\displaystyle{ f(x)= a_3x^3 + a_2 x^2+ a_1 x + a_0}\)

\(\displaystyle{ f(x)= a_3(x^3 + \frac{ a_2}{a_3} x^2+ \frac{ a_1}{a_3} x + \frac{a_0}{a_3})}\)

wykorzystujemy załozenie

\(\displaystyle{ \frac{a_2}{a_3}= - (x_1 +x_2 +x_3)}\)
i pozostale

otrzymujemy

\(\displaystyle{ f(x)= a_3(x^3 -(x_1 +x_2 +x_3) x^2+ (x_1x_2 +x_1_x_3 +x_2x_3) x -x_1x_2x_3)}\)

co daje

\(\displaystyle{ f(x)= a_3 (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\)-- 24 czerwca 2010, 12:13 --dostalismy postac iloczynowa zatem \(\displaystyle{ x_1}\), \(\displaystyle{ x_2}\),\(\displaystyle{ x_3}\) sa pierwiastkami ...

ODPOWIEDZ