równanie różniczkowe - chyba zupełne

[Feliks1990]

Witam,
mam do rozwiązanie takie równanie:
\(\displaystyle{ y(1-4lnx)dx+xdy=0}\)
Znaleźć jego rozwiązanie szczególne dla \(\displaystyle{ x(1)= \frac{1}{4}}\)
Mógłbym liczyć na pomoc kogoś mądrzejszego ode mnie? siedzę nad nim już dobrą godzinę i nie mogę zrobić;/
PS: dobrze mi się wydaje, że jest to r. zupełne?

Pozdrawiam.

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ x=x(y)}\)
To nie jest równanie zupełne, nie zachodzi warunek \(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{\partial x}=\frac{ \partial Q}{ \partial y}}\). Twoje równanie to równanie o zmiennych rozdzielonych.

\(\displaystyle{ y(1-4\ln x)dx=-xdy}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-4lnx}{x}dx=-\frac{1}{y}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x} \, dx -4\int \frac{\ln x}{x} \, dx=-\int \frac{1}{y} \,dy}\)

Pierwsza całka oczywista, druga przez podstawienie, trzecia również banalna.

[cosinus90]

Tam jest \(\displaystyle{ 4lnx}\), ale to drobna różnica:)

[Feliks1990]

wielki szacunek dla Ciebie za tak szybką odpowiedź, dziękuję Ci bardzo za pomoc. Nie wiesz nawet jak mi życie ratujesz:)

edit:// hmm, wiem że teraz nie zabłysnę, ale po wyliczeniu całek mamy:
\(\displaystyle{ ln|x|- \frac{4}{ln^{2}|x|}=ln|y|}\)
jak to kurcze rozwiązać?:)
Pozdrawiam.

[cosinus90]

\(\displaystyle{ e^{ln|x|- \frac{4}{ln^{2}|x|}} = e^{ln|y|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{ e^{\frac{4}{ln^{2}|x|}}} } = y}\)

[Feliks1990]

hmm, ok dziękuję Ci pięknie:) tylko jest w takim razie problem z założeniem, gdyż wg. niego:
\(\displaystyle{ y(1)= \frac{1}{4}}\), jeśli zaś podstawimy za x jest to mianownik wykładnika nam się wyzeruje;/ jak to więc wyliczyć?

PS: Czemu wolfram alpha jako rozwiązanie tego rownania podał:
\(\displaystyle{ y(x) = \frac{c_1 e^{2ln^2x}}{x}}\)??

Pozdrawiam:)

[cosinus90]

Hmm wiesz co, teraz tak patrzę na Twoje rozwiązanie i masz błąd jeśli chodzi obliczenie poszczególnych całek.

\(\displaystyle{ \int \frac{\4ln x}{x} dx = 2ln^{2}|x|}\) (z pominięciem stałej C)
Wylicz teraz i pamiętaj o minusach po lewej i prawej stronie (bo widzę, że też to zaniedbałeś), no i pamiętaj również o stałej C.