Rozwiń funkcję w szereg Fouriera

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
misiozdzisio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 cze 2010, o 23:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera

Post autor: misiozdzisio » 23 cze 2010, o 23:20

Witam, potrzebuję sprawdzenia-podpowiedzi-naprowadzenia
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 2; x \in (0; \pi) \\ 1; x = 0,\pi \\ 0; x \in R\backslash[0;\pi]\end{cases}}\) - rozwinąć w szereg Fouriera.
Tworzę, więc g(x) = x i dla niego liczę szereg.
Jest nieparzysta, więc liczę tylko przy cosinusach, stąd
\(\displaystyle{ a _{0} = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi}x dx = 2\pi}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi}xcosxdx \rightarrow -8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}}\)
stąd podstawiam do pierwszego wzoru i otrzymuje szereg Fouriera
kolejno 2,1,0
\(\displaystyle{ F(x) = 6\pi + \sum_{}^{}-8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}cos0nx + \sum_{}^{}-8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}cosnx + \sum_{}^{}-8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}cos2nx}\)
dobrze myślę? jak nie to prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku...

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera

Post autor: luka52 » 24 cze 2010, o 22:26

Skąd się bierze ta funkcja \(\displaystyle{ g}\)?
Poza tym jak funkcja jest nieparzysta to w rozwinięciu pojawią się same sinusy.

misiozdzisio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 cze 2010, o 23:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera

Post autor: misiozdzisio » 24 cze 2010, o 23:39

Źle obliczyłem całkę, mniejsza o to chodzi o idee.
g jest funkcją, która liniową i to co wyliczę jakiś tam sobie wzór to tam gdzie będzie x to odpowiednio wpiszę tam 2,1,0 jak we wzorze - można tak? czy powinienem po prostu wstawić stałą 2 w miejsce f(x) do wzoru?;>

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera

Post autor: luka52 » 25 cze 2010, o 10:53

misiozdzisio pisze:g jest funkcją, która liniową i to co wyliczę jakiś tam sobie wzór to tam gdzie będzie x to odpowiednio wpiszę tam 2,1,0 jak we wzorze - można tak?
Nie, należy wstawić funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) do odpowiedniego wzoru.
Poza tym, to ma być rozwinięcie w szereg Fouriera czy też w szereg trygonometryczny względem sinusów bądź kosinusów?

misiozdzisio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 cze 2010, o 23:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera

Post autor: misiozdzisio » 25 cze 2010, o 13:16

W Krysickim tak właśnie liczyli, ale ta książka jest beznadziejna to może dlatego. Dzięki za pomoc/

ODPOWIEDZ