Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe

Post autor: szw1710 » 23 cze 2010, o 18:49

Łatwo sprawdzić, że przestrzeń jednostajnie wypukła jest też ściśle wypukła. Na odwrót to nieprawda, ale dlaczego? Czy ktoś zna przykład przestrzeni ściśle wypukłej, która nie jest jednostajnie wypukła?

pipol

Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe

Post autor: pipol » 23 cze 2010, o 21:36

Zachodzi następująca własność:
Niech \(\displaystyle{ (X, ||\cdot ||_1 )}\) będzie ośrodkową przestrzenią Banacha. Istnieje wówczas norma \(\displaystyle{ ||\cdot ||_2 : X \rightarrow \mathbb{R}}\) równoważna normie \(\displaystyle{ ||\cdot ||_1}\) i taka, że przestrzeń \(\displaystyle{ (X ,||\cdot ||_2 )}\) jest ściśle wypukła.
Szkic dowodu
Niech \(\displaystyle{ S=\{x\in X: ||x||_1 =1\}}\). Niech \(\displaystyle{ A=\{v_n \in S :n\in \mathbb{N}\}}\) będzie takim zbiorem, że \(\displaystyle{ \overline{A} =S.}\)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ v_n \in A}\) istnieje ciągły funkcjonał liniowy \(\displaystyle{ f_n :X \rightarrow \mathbb{R}}\), taki, że \(\displaystyle{ f_n (v_n ) =1}\) , \(\displaystyle{ ||f_n ||=1.}\)
Definiujemy operator \(\displaystyle{ S: X \rightarrow l^2}\)
\(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \cdot f_n (x)\cdot e_n}\) , gdzie \(\displaystyle{ e_n =(\delta_{kn} )_{k\in\mathbb{N}}\in l^2}\) jest elementem bazy ortonormalnej przestrzeni \(\displaystyle{ l^2}\).
Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ ||x||_2 =||x||_1 +||S(x)||_{l^2}}\) ma żądane własności.

Jeżeli teraz weźmiemy jakąkolwiek ośrodkową przestrzeń Banacha, która nie jest refleksywna (np. \(\displaystyle{ c_0 , l^1}\) ) to istnieje w tej przestrzeni norma ściśle wypukła, równoważna wyjściowej, która nie może być oczywiście jednostajnie wypukła.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe

Post autor: szw1710 » 24 cze 2010, o 13:11

Dziękuję - ładna konstrukcja. Mi się wydawało, że trzeba by zacząć od konkretnego kształtu kuli i normę określić funkcjonałem Minkowskiego, tymczasem przykład można skonstruować dużo prościej.

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe

Post autor: Spektralny » 29 maja 2016, o 17:39

Można zrobić więcej; istnieją refleksywne przestrzenie ściśle wypukłe, które nie są izomorficzne z przestrzenią jednostajnie wypukłą.

Zacytujemy teraz głębokie twierdzenie Enflo, które mówi, że przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest izomorficzna z przestrzenią jednostajnie wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy o ile tylko \(\displaystyle{ Y}\) jest przestrzenią Banacha o tej własności, że dla każdej przestrzeni skończenie wymiarowej \(\displaystyle{ F\subset Y}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieje taka skończenie wymiarowa podprzestrzeń \(\displaystyle{ G\subset X}\), że odległość Banacha-Mazura między \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) nie przekracza \(\displaystyle{ 1+\varepsilon}\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest refleksywna. (Innymi słowy, jeżeli można znaleźć podprzestrzenie skończenie wymiarowe \(\displaystyle{ Y}\) w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest refleksywna.) Wystarczy wziąć teraz
  • \(\displaystyle{ X=\Big( \bigoplus_{n=1}^\infty \ell_1^n \Big)_{\ell_2}.}\)
Przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest refleksywna jako \(\displaystyle{ \ell_2}\)-suma przestrzeni refleksywnych (skończenie wymiarowych), jednak w można w niej znaleźć skończenie wymiarowe podprzestrzenie nierefleksywnej przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_1}\).

ODPOWIEDZ