Dziesięciokąt foremny

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
conseil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4 razy

Dziesięciokąt foremny

Post autor: conseil » 22 cze 2010, o 11:20

Ile jest równe pole dziesięciokąta foremnego opisanego na okręgu o promieniu 12cm?

wawek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 795
Rejestracja: 2 cze 2010, o 08:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 66 razy

Dziesięciokąt foremny

Post autor: wawek91 » 22 cze 2010, o 12:18

Pole jest równe polu 10-ciu trójkątów równoramiennych o wysokości 12 oraz kątach 36, 72, 72. Zastosuj twierdzenie sinusów i już powinno być łatwiej.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Dziesięciokąt foremny

Post autor: Majeskas » 22 cze 2010, o 12:23

Dziesięciokąt foremny składa się z 10 przystających trójkątów równoramiennych. Promień okręgu wpisanego jest wysokością w takim jednym trójkącie.

Mamy trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości opuszczonej na tę podstawę - r.
O tym trójkącie wiemy także, że jak położymy obok siebie 10 takich trójkątów, wyjdzie dziesięciokąt, a to oznacza, że miara kąta między równymi ramionami jest jedną dziesiątą miary kąta pełnego, czyli wiemy, że taki kąt ma \(\displaystyle{ 36^\circ}\). Wysokość jest dwusieczną tego kąta. Zatem w rezultacie możemy rozpatrywać trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 0,5a i r, oraz o kącie ostrym \(\displaystyle{ 18^\circ}\).

Teraz z trygonometrii:

\(\displaystyle{ tg18^\circ= \frac{0,5a}{r} \Rightarrow a=2rtg18^\circ}\)

Znamy r, więc możemy teraz policzyć pole jednego trójkąta:

\(\displaystyle{ S_{\Delta}= \frac{1}{2}ar=r^2tg18^\circ}\)

Zatem pole dziesięciokąta:

\(\displaystyle{ S=10S_{\Delta}=10r^2tg18^\circ}\)

\(\displaystyle{ tg18^\circ= \frac{ \sqrt{25-10 \sqrt{5} } }{5}}\)

80546.htm

\(\displaystyle{ S=2\sqrt{25-10 \sqrt{5} }r^2}\)

ODPOWIEDZ