rozwinąć funkcje w szereg Laurenta

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
mith
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 5 paź 2009, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy

rozwinąć funkcje w szereg Laurenta

Post autor: mith » 21 cze 2010, o 23:56

rozwinąć w szereg Laurenta funkcje : \(\displaystyle{ f(z)= \frac{2}{(z^2+1)(z+1)}}\) w pierścieniu:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}< |z-1|<2}\)

najpierw zaczynam od rozłożenia funkcji na ułamki proste i wychodzi:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{A}{z+j} + \frac{B}{z-j} + \frac{C}{z+1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ A= \frac{2}{-2+j}}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{2}{-2-2j}}\)
\(\displaystyle{ C=1}\)
i kolejno rozwijam każdy z ułamków. Tutaj zaczyna się mój problem, na początku zajmę się pierwszym ułamkiem:
\(\displaystyle{ \frac{A}{z+j} = -\frac{A}{j} \frac{1}{1- \frac{z}{j} }}\)
aby móc skorzystać ze wzoru na sumę szeregu potęgowego musi być spełniony warunek |q|< 1 , przy czym moje rozwinięcie musi znajdować się w pierścieniu podanym w poleceniu. Wracając do zadania:
\(\displaystyle{ | \frac{z}{j} |< 1 \Rightarrow r>1}\) co nie zgadza się z pierścieniem.
Do tej pory robiłem zadania w których pierścien był opisany wzorem: \(\displaystyle{ P(1;1, \infty )}\)
w tym przypadku muszę ograniczyć z góry jak i z dołu moje q, mógł by mi ktoś wytłumaczyć jak to zrobic?
pozdrawiam mith.

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

rozwinąć funkcje w szereg Laurenta

Post autor: BettyBoo » 22 cze 2010, o 00:22

\(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}=\frac{1}{z-1+2}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{1-z}{2}}}\)

co jest sumą szeregu geometrycznego, bo z założenia \(\displaystyle{ |1-z|<2}\)


Natomiast analogiczna sztuczka dla \(\displaystyle{ \pm j}\) nie zadziała, bo wtedy by było np dla \(\displaystyle{ j}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{z+j}=\frac{1}{z-1+1+j}=\frac{1}{1+j}\frac{1}{1-\frac{1-z}{1+j}}}\)

co byłoby sumą szeregu zbieżnego przy założeniu, że \(\displaystyle{ |1-z|<|1+j|=\sqrt{2}}\), czyli przy warunku dokładnie odwrotnym do założenia, które mamy w zadaniu. No to zróbmy dokładnie odwrotnie, tzn.

\(\displaystyle{ \frac{1}{z+j}=\frac{1}{z-1+1+j}=\frac{1}{z-1}\frac{1}{1-\frac{1+j}{1-z}}}\)

i już wszystko pasuje.

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ