Przestrzenie ciągów liczbowych. Zbiory gęste

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
knrt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

Przestrzenie ciągów liczbowych. Zbiory gęste

Post autor: knrt » 21 cze 2010, o 20:32

Jak pokazać, że \(\displaystyle{ l^1}\) jest zbiorem gęstym w przestrzeni \(\displaystyle{ l^2}\)?
Ogólnie, że \(\displaystyle{ l^p}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ l^{p+1}}\)?

pipol

Przestrzenie ciągów liczbowych. Zbiory gęste

Post autor: pipol » 21 cze 2010, o 22:00

Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ p<q}\), to \(\displaystyle{ l^p \subset l^q}\). Istotnie jeśli \(\displaystyle{ x\in l^p}\), to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} |x_n |^p <\infty}\) , zatem istnieje \(\displaystyle{ n_0}\) takie, że dla \(\displaystyle{ n \ge n_0}\) mamy \(\displaystyle{ |x_n |\le 1}\) a zatem dla \(\displaystyle{ n \ge n_0}\) mamy \(\displaystyle{ |x_n |^q \le |x_n |^p}\) czyli \(\displaystyle{ \sum_{n=n_0}^{\infty} |x_n |^q \le \sum_{n=n_0}^{\infty} |x_n |^p .}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ x\in l^p}\), \(\displaystyle{ p \ge 1.}\) Niech \(\displaystyle{ r_n = \left(\sum_{k=n+1}^{\infty} |x_n |^p \right)^{\frac{1}{p}}}\) niech \(\displaystyle{ v_n =(x_1,x_2,...,x_n ,0,0,...)}\) wówczas \(\displaystyle{ v_n\in l^1}\) oraz \(\displaystyle{ ||v_n -x||_p =r_n \rightarrow 0}\). Czyli \(\displaystyle{ l^p \subset \overline{l^1}.}\)

knrt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

Przestrzenie ciągów liczbowych. Zbiory gęste

Post autor: knrt » 22 cze 2010, o 11:51

Czyli tak naprawdę, to zbiór ciągów od pewnego miejsca zerowych jest zbiorem gęstym w tej przestrzeni. A każde \(\displaystyle{ l^m}\) zawiera zbiór tych ciągów.

ODPOWIEDZ