Matematyka.pl

Witam, miałem dziś na egzaminie takie zadanie:
Dane są pkty-wierzchołki trójkąta: A(x,y,z); B(x,y,z); C(x,y,z) [wartość współrzędnych nie pamiętam, dlatego wpisałem tak ogólnie]. Mamy wyznaczyć długość wysokości opuszczonej z C ma bok AB i wzór prostej, na której leży ta wysokość. i teraz moje pytanie:
Długość obliczyłem ze wzoru: iloczyn wektorowy-jego wartość wektorów AB i AC podzielony przez długość wektora AB. Dobrze?
Wzór prostej chciałem wyznaczyć z zależności, że mając AB, a więc wektor kierunkowy prostej, wektor prostej na której będzie leżeć wysokość, nazwijmy go K, musi być prostopadły, a więc ich iloczyn skalarny=0. Jednak dało to mi jedno równanie z 3 niewiadomymi i nie wiedziałem jak wyliczyć wartości wektora K, aby podstawić pod C i znaleźć wzór prostej.
Jak Wy byście zrobili to zadanie? Z góry dziekuję za odpowiedzi mądrzejszych ode mnie:)
Pozdrawiam.

Feliks1990 pisze: Długość obliczyłem ze wzoru: iloczyn wektorowy-jego wartość wektorów AB i AC podzielony przez długość wektora AB. Dobrze?

Pod warunkiem, że to był iloczyn skalarny (a nawet jego wartość bezwzględna).

Co do drugiego zadania:

Masz pierwszy warunek wyznaczony tak, jak opisałeś.

Drugi warunek: wektor normalny do płaszczyzny ABC też jest prostopadły do K, czyli K jest prostopadły do iloczynu wektorowgo np. wektorów AB i AC.

Te dwa warunki wystarczą. Jeśli \(\displaystyle{ K=[a,b,c]}\), to wystarczy teraz rozważyć dwa przypadki:
1.) \(\displaystyle{ a=0}\)
2.) \(\displaystyle{ a}\) jest dowolne niezerowe (np. \(\displaystyle{ a=1}\))
Skąd to się bierze? Albo a jest zerem, albo nie. Jeśli nie, to otrzymawszy jakiś wektor kierunkowy szukanej prostej, możesz go pomnożyć przez dowolną niezerową liczbę i otrzymasz inny wektor kierunkowy tej prostej, już z inną wartością a.

Innymi słowy:

otrzymany układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań ALE te wszystkie rozwiązania wyznaczają wektory, które mają odpowiednio proporcjonalne współrzędne (bo są równoległe). Nam wystarcza jedno rozwiązanie, a powyższe dwa warunki zapewniają to, że na pewno jakieś rozwiązanie znajdziemy.

Crizz pisze:

Feliks1990 pisze: Długość obliczyłem ze wzoru: iloczyn wektorowy-jego wartość wektorów AB i AC podzielony przez długość wektora AB. Dobrze?

Pod warunkiem, że to był iloczyn skalarny (a nawet jego wartość bezwzględna).

Jesteś pewien, że iloczyn skalarny? Ja znalazłem wzory mówiące o module z iloczynu wektorowego i sprawdzając to na funkcjach trygonometrycznych, faktycznie tak wychodzi, bo występuje tam sinus kąta.
Pozdrawiam.

A nie łatwiej było po prostu policzyć pole trójkąta, potem długość odcinka |AB|, podstawić pod normalny wzór i już masz h, a dalej to wyznaczasz wzór prostej, przechodzącej przez punkty A i B, potem prosta prostopadła przechodząca przez C i gotowe

Pozdrawiam.

Fakt, pomyłka. Przepraszam, ze namieszałem.