calka zespolona-sprawdzenie

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
tomcza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 20 kwie 2009, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

calka zespolona-sprawdzenie

Post autor: tomcza » 20 cze 2010, o 20:06

Policzyc taka calke \(\displaystyle{ \int\limits_{C} \frac{dz}{z^{2}+1}}\) gdzie C jest skierowanym dodatnio wzgledem wnetrza konturem o rownaniu \(\displaystyle{ x^{2}+4y^{2}=1}\).

Na mocy tw Cauchego to bedzie tak:?
\(\displaystyle{ \int\limits_{C} \frac{dz}{z^{2}+1} =\int\limits_{C} \frac{ \frac{1}{z+i} }{z-i}dz=2 \pi i( \frac{1}{z+i)}) \left| \frac{}{} \right|_{z=i}^{ \frac{}{} } =2 \pi i \frac{1}{2i} = \pi}\)
Jest dobrze?

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

calka zespolona-sprawdzenie

Post autor: BettyBoo » 20 cze 2010, o 20:10

Niedobrze

Narysowałeś sobie ten kontur? To narysuj, a potem umieść na tym rysunku bieguny funkcji podcałkowej. A potem możesz pisać odpowiedź.

Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
tomcza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 20 kwie 2009, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

calka zespolona-sprawdzenie

Post autor: tomcza » 20 cze 2010, o 20:23

tak cos przeczuwam ze wynik tego bedzie rowny 0 , przez obliczenie chyba to trzeba zrobic jako sume 2 calek: pierwsza bedzie z podstaiweniem i a druga z -i. ale nie wiem jak narysowac ten kontur i z niego odczytac

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

calka zespolona-sprawdzenie

Post autor: BettyBoo » 20 cze 2010, o 20:29

Żadna suma. Ten kontur to elipsa - środek w \(\displaystyle{ (0,0)}\), półosie pozioma i pionowa długości odpowiednio \(\displaystyle{ 1,\ \frac{1}{2}}\) - a oba bieguny funkcji podcałkowej leżą na zewnątrz elipsy, wobec tego całka jest równa 0 z tw Cauchy'ego.

Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
tomcza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 20 kwie 2009, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

calka zespolona-sprawdzenie

Post autor: tomcza » 20 cze 2010, o 20:32

ale mozna do tego dojsc przez obliczenie?:)

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

calka zespolona-sprawdzenie

Post autor: BettyBoo » 20 cze 2010, o 20:37

Można, ale musisz normalnie obliczać tą całkę (nie możesz skorzystać z tego tw, z którego skorzystałeś, bo \(\displaystyle{ i}\) nie leży wewnątrz elipsy - przeczytaj sobie jeszcze raz dokładnie założenia). Pytanie tylko - po co, skoro z tw Cauchy'ego masz to natychmiast? ;)

Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
tomcza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 20 kwie 2009, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

calka zespolona-sprawdzenie

Post autor: tomcza » 20 cze 2010, o 20:50

no tak, racja:) a gdyby na przyklad bylo rownanie opisujace okrag w ktorym pkt i i -i by sie miescily to 1 rozwiazanie byloby poprawne?;)

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

calka zespolona-sprawdzenie

Post autor: BettyBoo » 20 cze 2010, o 20:57

Też nie - przeczytaj dokładnie założenia twierdzenia, z którego próbowałeś skorzystać w pierwszym poście. Żeby obliczyć całkę w takiej sytuacji, o której mówisz trzeba skorzystać np z twierdzenia o residuach (pod warunkiem, że są spełnione wszystkie założenia!).

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ