Matematyka.pl

Mam dosc ciekawe zadanie jest banalne ale chcialem zamiescic je tutaj (wymyslone przeze mnie i moich kolegow).

A wiec. Napisz wzór na ilosc kart w n kondygnacyjnym domku z kart (taki najzwyklejszy I pietro - 2 katy II - 7, III - 15). Czekam na rozwiazania
(im wiecej tym lepiej).

ja okreslilem ogolny wzor ale rekurencyjnie:
a[n] - ilosc kart w n - "pietrowym" domku z kart
a[n-1] - ilosc kart w n-1 - "pietrowym" domku z kart
n - ilosc kart w "domku"
i tak: a[n]=a[n-1]+2n+(n-1), gdzie a[0]=0
mamy wiec
a[1]=a[0]+2*1+0=2
a[2]=a[1]+2*2+1=2+4+1=7
a[3]=a[2]+2*3+2=7+6+2=15
itd...
i teraz wiem ze byl sposob zeby to jakos szybko wyliczyc..ale niestety nie pamietam...a mialem to na rownaniach roznicowych, przeciez to typowe zadania rownan roznicowych....pomysle jeszcze nad tym
---
Pozdrawiam

Mi wyszlo z qmplami cos takiego (3n^2 +n)/2 - taki wzor

w sumie jak policzylem to z prostego przyporzadkowania czyli wykres przech. przez trzy punkty (1,2); (2,7); (3,15) to wyszlo to samo...

powiedz stary jak do tego doszedles, ja jeszcze nie bralem takich rzeczy o ktorych ty mowisz i liczylem to w strasznie pokretny sposob, napisz jak ty to zrobiles, z gory thx.

ten pierwszy sposob byl prosty...zrobilem rysunek i stwierdzilem ze za kazdym razem musimy dodac po dwie karty na kazde pietro a pozaty o jeden mniej niz pieter kart na "podlogi" i w ten sposob powstal wzor rekursywny...
natomiast ten drugi sposob byl taki...probowalem wyznaczyc krzywa ktora przechodzi przez punkty (n, f(n)), gdzie n - pietra, f(n) - il. kart potrzebnych do zbudowania domku i tak byly Trzy punkty (1,2); (2,7); (3,15) wzor ogolny krzywej jest taki y=ax^2+bx+c
i tak powstal uklad trzech rownan z trzema niewiadomymi
2=a+b+c
7=4a+2b+c
15=9a+3b+c
i w ten sposob wyszlo mi: a=3/2; b=1/2; c=0 tak wiec wzor byl taki f(n)=(3/2)n^2+(1/2)n czyli f(n)=(3n^2+n)/2

dodac nalezy skad przyjmujemy ze wystarczy wielomian drugiego stopnia dla opisania tej zaleznosci
np z wzorow rekurencyjnych wyznaczny kilka wartosci poczatkowych
W(1)=2
W(2)=7
W(3)=15
W(4)=26
W(5)=40

nastepnie policzny ronice
X1=W(2)-W(1)=5
X2=W(3)-W(2)=8
X3=W(4)-W(3)=11
X4=W(5)-W(4)=14

i teraz
X2-X1=3
X3-X2=3
X4-X3=3

stad wniosek ze po dwukrotnym zrozniczkowaniu uzyskujemy stala wartosc wiec szukane wyrazenie musi byc wielomianem drugiego stopnia

zdaje sobie sprawe ze to nie jest zaden formalny dowod on jednak jest wystarczajacy do dowiedzania sie ktorego stopnia wielomianu szukamy a potem juz robi sie legalny dowod indukcyjny

wlasnie pewnie do podobnych wnioskow doprowadziloby myslenie wedlug rownan roznicowych, jest to odpowiednik rownan rozniczkowych tylko tam niewiadoma byly funkcje i ich pochodne w row. roznicowych niewiadoma sa ciagi....mialem taki przedmiot na studiach, ale na prawde juz niewiele pamietam sposob obliczania taki konkretny...postaram sie wam to rozpisac i przedstawic wnioskowanie rownan roznicowych...skonsultuje to jutro u mnie w grupie...pozdrawiam:)