Równanie obwodu RC

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
lennyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 14 lis 2009, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Równanie obwodu RC

Post autor: lennyh » 20 cze 2010, o 18:25

Mam prośbę: czy moglibyście napisać krok po kroku rozwiązanie poniższego równania?

Z prawa Kirchhoffa:
\(\displaystyle{ R\frac{\mbox{d}q}{\mbox{d}t}+\frac{q}{C} = \varepsilon}\) | :R
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}q}{\mbox{d}t}+\frac{q}{RC} = \frac{\varepsilon}{R}}\)

(obwód RC; szukam q(t))

Warunek początkowy: dla t=0, q=0.

Według podręcznika (Resnick, Halliday, Walker - "Podstawy Fizyki", t.3) rozwiązaniem powyższego jest
\(\displaystyle{ q=C \varepsilon (1 - e^{\frac{-t}{RC}} )}\) (ładowanie kondensatora),
jednak chciałbym wiedzieć, jak to równanie wyprowadzić.


Z góry dziękuję.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Równanie obwodu RC

Post autor: Crizz » 20 cze 2010, o 20:40

\(\displaystyle{ \frac{dq}{dt}+\frac{q}{RC}=\frac{\varepsilon}{R}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dq}{dt}=\frac{\varepsilon}{R}-\frac{q}{RC}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dq}{\varepsilon C-q}=\frac{dt}{RC}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dq}{q-\varepsilon C}=-\frac{dt}{RC}}\)

całkujemy obie strony równania:

\(\displaystyle{ ln|q-\varepsilon C|=\frac{-t}{RC}+lnA,A>0}\)

\(\displaystyle{ ln\frac{|q-\varepsilon C|}{A}=\frac{-t}{RC}}\)

\(\displaystyle{ q-\varepsilon C=Ae^{-\frac{t}{RC}}}\)

\(\displaystyle{ q=C \varepsilon+Ae^{-\frac{t}{RC}}}\)

Żeby znaleźć stałą A, korzystamy z faktu, że \(\displaystyle{ q(0)=0}\):
\(\displaystyle{ C \varepsilon+A=0}\)
\(\displaystyle{ A=-C \varepsilon}\)

Ostatecznie, \(\displaystyle{ q(t)=C \varepsilon \left( 1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)}\)

lennyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 14 lis 2009, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Równanie obwodu RC

Post autor: lennyh » 20 cze 2010, o 21:54

Dziękuję.

ODPOWIEDZ