środkowa trójkąta

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
espee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 cze 2010, o 18:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koluszki

środkowa trójkąta

Post autor: espee » 20 cze 2010, o 18:19

Witam. Proszę o pomoc przy zadaniu, z którym nie moge sobie dać rady. Mianowicie mam wykazać, że jeśli środkowa poprowadzona w trójkącie ABC z punktu C (do D) jest dłuższa od połowy odcinka |AB| to sphericalangle C jest mniejszy niż 90 stopni.

\(\displaystyle{ |CD|> \frac{1}{2} |AB| \ \Rightarrow \ \sphericalangle C<90^0}\)

Jest to zadanie (z rozszerzenia) z pierwszej klasy liceum ze zbioru zadań Krzysztofa Kłaczkowa.

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

środkowa trójkąta

Post autor: Justka » 20 cze 2010, o 19:50

Do boku AB "doklejmy" trójkąt przystający do danego tak, aby otrzymać równoległobok (ABCC'), wtedy jego przekatne będą miały długość |AB| i 2|CD|, przy czym z założenia 2|CD|> |AB|. Naprzeciwko dłuższej przekątnej leży kąt o wiekszej rozwartości, zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle A > \sphericalangle C}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \sphericalangle A+ \sphericalangle C=180^0}\), więc \(\displaystyle{ \sphericalangle A-\sphericalangle C=(180^0-\sphericalangle C)-\sphericalangle C>0 \ \Rightarrow \ \sphericalangle C < 90^0}\), a to mieliśmy pokazać. : )

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16289
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 3232 razy

środkowa trójkąta

Post autor: anna_ » 20 cze 2010, o 19:58

\(\displaystyle{ CD=d_c}\)
\(\displaystyle{ d_c> \frac{1}{2}c}\)
\(\displaystyle{ d_c= \frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2b^2-c^2}>\frac{1}{2}c}\)
\(\displaystyle{ 2a^2+2b^2-c^2>c^2}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2-c^2>0}\)

Z twierdzenia cosinusów mamy:
\(\displaystyle{ cos\gamma= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}>0}\)

\(\displaystyle{ \gamma<90^o}\)

?ntegral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 1 cze 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 61 razy

środkowa trójkąta

Post autor: ?ntegral » 20 cze 2010, o 20:14

Można nieco inaczej.

Twierdzenie:
Większy kąt trójkąta leży naprzeciwko dłuższego boku.
\(\displaystyle{ |CD|>|AD| \Rightarrow \sphericalangle DAC > \sphericalangle DCA}\)

\(\displaystyle{ |CD|>|BD| \Rightarrow \sphericalangle DBC> \sphericalangle DCB}\)

Dodajemy nierówności stronami:

\(\displaystyle{ \sphericalangle DAC + \sphericalangle DBC> \sphericalangle DCA+ \sphericalangle DCB}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle DAC + \sphericalangle DBC> \sphericalangle ACB \quad (1)}\)


Dla \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) mamy:

\(\displaystyle{ \sphericalangle ACB+ \sphericalangle DBC+ \sphericalangle DAC=180º}\)

\(\displaystyle{ 180º-\sphericalangle ACB= \sphericalangle DBC+ \sphericalangle DAC \quad (2)}\)


Wstawiamy \(\displaystyle{ (2)}\) do \(\displaystyle{ (1)}\):

\(\displaystyle{ 180º-\sphericalangle ACB>\sphericalangle ACB}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle ACB < 90º}\)

cnd.

espee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 cze 2010, o 18:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koluszki

środkowa trójkąta

Post autor: espee » 21 cze 2010, o 01:57

Wielkie dzięki, naprawdę mi to bardzo pomogło (żadnej ironi). Niech wam to Bóg w dzieciach wynagrodzi. Jeszcze raz dzięki.

ODPOWIEDZ