Całka krzywoliniowa

pluto · Post autor: **pluto** » 19 cze 2010, o 16:47

Hej!
Potrzebuję pomocy z rozwiązaniem takiego zadania: Oblicz całkę:
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{2x(1-e^{y})}{ (1+x^{2})^{2} }dx+e^{y}(y^{2}+ \frac{1}{x^{2}+1})dy}\), gdzie K jest krzywą o parametryzacji:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=\arctan \frac{t}{\pi} \\
y=t^{3}-4t^{2} \\
t \in [0;4] \end{cases}}\)

Istnieje jakiś przyjemny, chytry sposób na rozwiązanie tego? Bo samo rozpisanie tego wszystkiego zajmuje dość sporo, uproszczeń nie widać, a co dopiero to wycałkować

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 19 cze 2010, o 16:56

Wskazówka: zauważ, że funkcja podcałkowa jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych.

Pozdrawiam.

pluto · Post autor: **pluto** » 19 cze 2010, o 17:15

BettyBoo, dzięki za odpowiedź, ale yyy mogłabyś jakoś szerzej?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 19 cze 2010, o 17:40

Najpierw odpowiedz - wiesz jak sprawdzić czy wyrażenie jest różniczką zupełną i jak się znajduje funkcję, jeśli masz daną jej różniczkę zupełną? Podpowiem, że wykorzystuje się to do rozwiązywania równań różniczkowych zupełnych.

Jeśli w ogóle nie wiesz o czym mówię, to moje wyjaśnienia nic Ci nie dadzą i musisz obliczyć tą całkę inaczej. Jeśli wiesz, o czym mówię, to znajdź najpierw tą funkcję, to Ci powiem, co z tym dalej trzeba zrobić.

Pozdrawiam.

pluto · Post autor: **pluto** » 19 cze 2010, o 17:55

Generalnie to sytuacja wygląda tak, że to jest zadanie z egzaminu sprzed kilku lat. Równań różniczkowych nie miałem do tej pory, więc pewnie takich całek też nie będzie, skoro nie ma innego prostego sposobu, no bo bez przesady Dzięki za pomoc!

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 19 cze 2010, o 17:59

Znalezienie funkcji jeśli jest dana jej różniczka zupełna nie wymaga znajomości równań różniczkowych (podałam to tylko jako przykład zastosowania tej procedury), tylko znajomości pojęcia różniczki zupełnej - a to raczej powinieneś znać. Ale jak tam sobie chcesz

Pozdrawiam.

pluto · Post autor: **pluto** » 19 cze 2010, o 21:07

No niestety, tej wiedzy jeszcze nie posiadłem. Za to mam pomysł - może przez sprawdzenie potencjalności by poszło gładko?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 cze 2010, o 13:24

Aaach, teoria pola? No to właśnie chodzi o sprawdzenie, czy pole jest potencjalne (zachowawcze) i o znalezienie potencjału. Wtedy ta całka to różnica wartości potencjału na końcach krzywej.

Pozdrawiam.