1) \(\displaystyle{ y'' + 4y = 5xe^{x}}\)
2) \(\displaystyle{ xy' - y = \sqrt{3x^{2} + y^{2}}}\)
Byłbym wdzięczny jakby ktoś to rozwiązał.
Równania różniczkowe
Równania różniczkowe
Ostatnio zmieniony 19 cze 2010, o 12:55 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów[latex] i [/latex]
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów
-
cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Równania różniczkowe
Zadanie nr 1
1) Oblicz całkę ogólną równania liniowego jednorodnego podstawiając \(\displaystyle{ y = e^{rx}}\) , po uproszczeniach wyjdą 2 pierwiastki zespolone - całką ogólną jest wtedy \(\displaystyle{ y = C_{1} (e^{ \alpha x} cos \beta x) + C_{2} (e^{ \alpha x} sin \beta x}\)) , gdzie \(\displaystyle{ \alpha + \beta i = r .}\)
2) Teraz obliczamy całkę szczególną równania liniowego niejednorodnego:
należy zastosować metodę uzmienniania stałych; w tym celu rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} C'_{1}(x) (e^{ \alpha x} cos \beta x + C'_{2}(x) \cdot e^{ \alpha x} sin \beta x = 0 \\ C'_{1}(x) (e^{ \alpha x} cos \beta x - \beta e^{ \alpha x} sin \beta x) + C'_{2}(x) (e^{ \alpha x} sin \beta x + \beta e^{ \alpha x} cos \beta x) = 5xe^{x} \end{cases}}\)
Po wyznaczeniu\(\displaystyle{ C'_{1}(x)}\) oraz\(\displaystyle{ C'_{2}(x)}\) oblicz z nich całki, żeby dostać \(\displaystyle{ C_{1}(x)}\) oraz \(\displaystyle{ C_{2}(x)}\) - nie zapomnij, że po całkach pojawią się nowe stałe całkowania, np. \(\displaystyle{ C_{3}}\) i \(\displaystyle{ C_{4}}\). Podstaw do rozwiązania ogólnego w punkcie 1) i zrobione
-- 19 cze 2010, o 15:17 --
Zadanie nr 2
Należy podzielić obustronnie przez x :
\(\displaystyle{ y' - \frac{y}{x} = \frac{ \sqrt{3 x^{2} + y^{2} } }{x}}\)
\(\displaystyle{ y' - \frac{y}{x} = \sqrt{3+ \frac{ y^{2} }{ x^{2} } }}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\) daje \(\displaystyle{ y' = u'x + u}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ u'x + u - u = \sqrt{3 + u^{2} }}\)
Po rozdzieleniu zmiennych otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{du}{\sqrt{3 + u^{2} }} = \frac{dx}{x}}\)
Teraz należy obustronnie to scałkować, obliczyć u oraz powrócić do zmiennej y
1) Oblicz całkę ogólną równania liniowego jednorodnego podstawiając \(\displaystyle{ y = e^{rx}}\) , po uproszczeniach wyjdą 2 pierwiastki zespolone - całką ogólną jest wtedy \(\displaystyle{ y = C_{1} (e^{ \alpha x} cos \beta x) + C_{2} (e^{ \alpha x} sin \beta x}\)) , gdzie \(\displaystyle{ \alpha + \beta i = r .}\)
2) Teraz obliczamy całkę szczególną równania liniowego niejednorodnego:
należy zastosować metodę uzmienniania stałych; w tym celu rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} C'_{1}(x) (e^{ \alpha x} cos \beta x + C'_{2}(x) \cdot e^{ \alpha x} sin \beta x = 0 \\ C'_{1}(x) (e^{ \alpha x} cos \beta x - \beta e^{ \alpha x} sin \beta x) + C'_{2}(x) (e^{ \alpha x} sin \beta x + \beta e^{ \alpha x} cos \beta x) = 5xe^{x} \end{cases}}\)
Po wyznaczeniu\(\displaystyle{ C'_{1}(x)}\) oraz\(\displaystyle{ C'_{2}(x)}\) oblicz z nich całki, żeby dostać \(\displaystyle{ C_{1}(x)}\) oraz \(\displaystyle{ C_{2}(x)}\) - nie zapomnij, że po całkach pojawią się nowe stałe całkowania, np. \(\displaystyle{ C_{3}}\) i \(\displaystyle{ C_{4}}\). Podstaw do rozwiązania ogólnego w punkcie 1) i zrobione
-- 19 cze 2010, o 15:17 --
Zadanie nr 2
Należy podzielić obustronnie przez x :
\(\displaystyle{ y' - \frac{y}{x} = \frac{ \sqrt{3 x^{2} + y^{2} } }{x}}\)
\(\displaystyle{ y' - \frac{y}{x} = \sqrt{3+ \frac{ y^{2} }{ x^{2} } }}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\) daje \(\displaystyle{ y' = u'x + u}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ u'x + u - u = \sqrt{3 + u^{2} }}\)
Po rozdzieleniu zmiennych otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{du}{\sqrt{3 + u^{2} }} = \frac{dx}{x}}\)
Teraz należy obustronnie to scałkować, obliczyć u oraz powrócić do zmiennej y