Równania różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Duncan1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 cze 2010, o 12:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równania różniczkowe

Post autor: Duncan1 » 19 cze 2010, o 12:52

1) \(\displaystyle{ y'' + 4y = 5xe^{x}}\)

2) \(\displaystyle{ xy' - y = \sqrt{3x^{2} + y^{2}}}\)

Byłbym wdzięczny jakby ktoś to rozwiązał.
Ostatnio zmieniony 19 cze 2010, o 12:55 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów [latex] i [/latex] - zapis będzie czytelniejszy.

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Równania różniczkowe

Post autor: cosinus90 » 19 cze 2010, o 13:56

Zadanie nr 1

1) Oblicz całkę ogólną równania liniowego jednorodnego podstawiając \(\displaystyle{ y = e^{rx}}\) , po uproszczeniach wyjdą 2 pierwiastki zespolone - całką ogólną jest wtedy \(\displaystyle{ y = C_{1} (e^{ \alpha x} cos \beta x) + C_{2} (e^{ \alpha x} sin \beta x}\)) , gdzie \(\displaystyle{ \alpha + \beta i = r .}\)

2) Teraz obliczamy całkę szczególną równania liniowego niejednorodnego:
należy zastosować metodę uzmienniania stałych; w tym celu rozwiąż układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} C'_{1}(x) (e^{ \alpha x} cos \beta x + C'_{2}(x) \cdot e^{ \alpha x} sin \beta x = 0 \\ C'_{1}(x) (e^{ \alpha x} cos \beta x - \beta e^{ \alpha x} sin \beta x) + C'_{2}(x) (e^{ \alpha x} sin \beta x + \beta e^{ \alpha x} cos \beta x) = 5xe^{x} \end{cases}}\)

Po wyznaczeniu\(\displaystyle{ C'_{1}(x)}\) oraz\(\displaystyle{ C'_{2}(x)}\) oblicz z nich całki, żeby dostać \(\displaystyle{ C_{1}(x)}\) oraz \(\displaystyle{ C_{2}(x)}\) - nie zapomnij, że po całkach pojawią się nowe stałe całkowania, np. \(\displaystyle{ C_{3}}\) i \(\displaystyle{ C_{4}}\). Podstaw do rozwiązania ogólnego w punkcie 1) i zrobione

-- 19 cze 2010, o 15:17 --

Zadanie nr 2

Należy podzielić obustronnie przez x :

\(\displaystyle{ y' - \frac{y}{x} = \frac{ \sqrt{3 x^{2} + y^{2} } }{x}}\)

\(\displaystyle{ y' - \frac{y}{x} = \sqrt{3+ \frac{ y^{2} }{ x^{2} } }}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\) daje \(\displaystyle{ y' = u'x + u}\)
Zatem:

\(\displaystyle{ u'x + u - u = \sqrt{3 + u^{2} }}\)

Po rozdzieleniu zmiennych otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{du}{\sqrt{3 + u^{2} }} = \frac{dx}{x}}\)

Teraz należy obustronnie to scałkować, obliczyć u oraz powrócić do zmiennej y

ODPOWIEDZ