[Nierówności] Harda (chyba widziałem na IMO) nierówność.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Nierówności] Harda (chyba widziałem na IMO) nierówność.

Post autor: Marcinek665 » 19 cze 2010, o 12:24

\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt[3]{a ^{3} + 63bcd} } + \frac{b}{ \sqrt[3]{b ^{3} + 63cda} } } + \frac{c}{ \sqrt[3]{c ^{3} + 63dab} } } + \frac{d}{ \sqrt[3]{d ^{3} + 63abc} } } \ge 1}\)

Idzie z Jensena + jednorodności, ale chciałbym, żeby ktoś miły pomógł mi to zrobić bez użycia tych zabawek

Z góry dzięki

Awatar użytkownika
tkrass
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1464
Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 186 razy

[Nierówności] Harda (chyba widziałem na IMO) nierówność.

Post autor: tkrass » 19 cze 2010, o 12:30

Są jakieś założenia? Dla ciągu \(\displaystyle{ (-1,-1,-1,1)}\) nie działa.

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

[Nierówności] Harda (chyba widziałem na IMO) nierówność.

Post autor: smigol » 19 cze 2010, o 12:58

chyba małe usterki, zaraz wrzucę poprawną wersję.

Edit: błąd w rachunkach po prostu:

miałem pomyłkę w rachunkach tylko:
\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt[3]{a^3+63bcd} } \ge \frac{a^{21/16}}{a^{21/16}+b^{21/16}+c^{21/16}+d^{21/16}}}\)

A jak do tego dojść i czemu akurat do tego, to sam pomyśl

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Nierówności] Harda (chyba widziałem na IMO) nierówność.

Post autor: Marcinek665 » 20 cze 2010, o 12:14

Z "czemu" nie mam żadnego problemu, bo to widać na pierwszy rzut oka. Ale z "jak" nadal się nie uporałem

Widzę jedynie, że po podstawieniu a=b=c=d zachodzi równość. Szacować mianownik tez jakoś nie umiem, bo z AM-GM nierówność szłaby w nieodpowiednią stronę. A AM-HM chyba nie ma sensu.

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

[Nierówności] Harda (chyba widziałem na IMO) nierówność.

Post autor: smigol » 20 cze 2010, o 12:38

Chcemy znaleźć takie \(\displaystyle{ k}\), dla którego:
\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt[3]{a^3+63bcd} } \ge \frac{a^{k}}{a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}}}\)
Wtedy po zsumowaniu 4 takich nierówności dostajemy \(\displaystyle{ 1}\) poprawej stronie, czyli to co chcieliśmy.
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{ a^3+63bcd } \ge \frac{a^{3k}}{(a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k})^3}}\)
\(\displaystyle{ (a^k+b^k+c^k+d^k)^3-a^{3k} \ge 63a^{3k-3}bcd}\)
ale z drugiej strony:
\(\displaystyle{ (a^k+b^k+c^k+d^k)^3-a^{3k}=wzor \ skr \ mnozenia \ = wymnozyc \ \ge (AM \ge GM) \ge 63a^{ \frac{15k}{21}} \cdot (bcd)^{ \frac{16k}{21}}}\)
Czyli musi być \(\displaystyle{ 3k-3= \frac{15k}{21}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{16k}{21}=1}\) Tak się szczęśliwie składa, że \(\displaystyle{ \frac{21}{16}}\) spełnia też to pierwsze równanie.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Nierówności] Harda (chyba widziałem na IMO) nierówność.

Post autor: Marcinek665 » 20 cze 2010, o 12:57

Dzięki, teraz wszystko jasne

ODPOWIEDZ