Całka wykładnicza

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 12 razy

Całka wykładnicza

Post autor: kluczyk » 19 cze 2010, o 10:39

Obliczyć
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{e^{2 \cdot x}+4 \cdot e^{x}+1} }}\)

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Całka wykładnicza

Post autor: Crizz » 19 cze 2010, o 11:25

Najpierw podstawienie:
\(\displaystyle{ t=e^{x}}\)
\(\displaystyle{ dt=e^{x}dx}\)
\(\displaystyle{ dt=tdx}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{t}}\)

i całka przybiera postać: \(\displaystyle{ \int \frac{dt}{t\sqrt{t^{2}+4t+1}}}\)

Teraz podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac{1}{p}}\)
\(\displaystyle{ dt=-\frac{dp}{p^{2}}}\)

i całka przybiera postać: \(\displaystyle{ -\int \frac{dp}{p\sqrt{\frac{1}{p^{2}}+\frac{4}{p}+1}}=-\int \frac{dp}{\sqrt{p^{2}+4p+1}}=-ln(\sqrt{p^{2}+4p+1}+p+2)+C}\)

wracając do podstawienia, otrzymujemy \(\displaystyle{ x-ln(\sqrt{e^{2x}+4e^{x}+1}+2e^{x}+1)+C}\)

ODPOWIEDZ