Problem z całką

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6754
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Problem z całką

Post autor: mariuszm » 19 cze 2010, o 23:34

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2}{\cosh{x}}dx}\)

Najlepiej rozszerzyć ten ułamek o \(\displaystyle{ \cosh{x}}\)
i skorzystać z jedynki hiperbolicznej


\(\displaystyle{ \int{ \frac{2\cosh{x}}{\cosh^{2}{x}} \mbox{d}x }=2\int{ \frac{\cosh{x}}{1+\sinh^{2}{x}} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =2\arctan{\sinh{x}}+C}\)

Feliks1990 pisze:dzięki, jesteś wielki:) niestety, trafiła mi się kolejna całka,której nie mogę ruszyć;/
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{1-x- x^{4}- x^{5} }}\)
próbowałem podstawiać, przez części, ale nie idzie. jakieś pomysły?:)
Funkcję podcałkową trzeba rozłożyć na sumę ułamków prostych
ale aby to zrobić musisz rozłożyć wielomian w mianowniku na
iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych i jednego dwumianu liniowego

Gdy już będziesz miał rozkład na dwa trójmiany i jeden dwumian to
sprawdzasz czy te trójmiany są rozkładalne nad R

To będzie jednak trudne ponieważ nie da się rozłożyć wielomianu piątego stopnia
w postaci ogólnej za pomocą pierwiastników a dzielniki wyrazu wolnego nie pasują

Tutaj masz trochę o rozkładzie wielomianu piątego stopnia na czynniki

http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

Ja tego nie rozłożę ponieważ wiem tylko jak rozłożyć równanie czwartego stopnia

W przypadku równania czwartego stopnia masz do wyboru dwie metody
Jedna polega na rozkładzie wielomianu na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
Równanie czwartego stopnia sprowadzasz do postaci różnicy kwadratów
(przy okazji dostajesz równanie trzeciego stopnia)
Druga metoda polega na przedstawieniu pierwiastków równania czwartego stopnia
za pomocą sumy/różnicy pierwiastków równania trzeciego stopnia
(najpierw musisz się pozbyć składnika \(\displaystyle{ x^3}\))
To tak jeśli znalazłbyś ten jeden pierwiastek

Przybliżoną wartość pierwiastka możesz uzyskać stosując metodę Newtona

Feliks1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 14 sty 2009, o 13:37
Podziękował: 8 razy

Problem z całką

Post autor: Feliks1990 » 20 cze 2010, o 12:02

mariuszm pisze:\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2}{\cosh{x}}dx}\)

Najlepiej rozszerzyć ten ułamek o \(\displaystyle{ \cosh{x}}\)
i skorzystać z jedynki hiperbolicznej


\(\displaystyle{ \int{ \frac{2\cosh{x}}{\cosh^{2}{x}} \mbox{d}x }=2\int{ \frac{\cosh{x}}{1+\sinh^{2}{x}} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =2\arctan{\sinh{x}}+C}\)
Hmm, a jak zrobiłeś przejście z tej formy \(\displaystyle{ 2\int{ \frac{\cosh{x}}{1+\sinh^{2}{x}} \mbox{d}x }}\) do \(\displaystyle{ 2\arctan{\sinh{x}}+C}\)?? Bo troszkę nie rozumiem, w tablicach tego nie mam, a w mianowniku mamy sumę,której nie można rozbić.

pozdrawiam.

edit://ja zrobiłem to tak,że za mianownik podstawiłem t i końcowy wynik wyszedł mi \(\displaystyle{ ln(|1+sinh^{2}x|)}\). dobrze to jest?

edit2:// chyba jednak źle to zrobiłem, źle policzyłem pochodną t. nie wiem więc jak to zrobić:[ wolfram wyrzuca coś takiego::
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false
pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 20 cze 2010, o 12:32 przez Feliks1990, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

Problem z całką

Post autor: Zordon » 20 cze 2010, o 12:32

nie, zle to jest

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6754
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Problem z całką

Post autor: mariuszm » 20 cze 2010, o 15:25

Feliks1990 pisze:
mariuszm pisze:\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2}{\cosh{x}}dx}\)

Najlepiej rozszerzyć ten ułamek o \(\displaystyle{ \cosh{x}}\)
i skorzystać z jedynki hiperbolicznej


\(\displaystyle{ \int{ \frac{2\cosh{x}}{\cosh^{2}{x}} \mbox{d}x }=2\int{ \frac{\cosh{x}}{1+\sinh^{2}{x}} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =2\arctan{\sinh{x}}+C}\)
Hmm, a jak zrobiłeś przejście z tej formy \(\displaystyle{ 2\int{ \frac{\cosh{x}}{1+\sinh^{2}{x}} \mbox{d}x }}\) do \(\displaystyle{ 2\arctan{\sinh{x}}+C}\)?? Bo troszkę nie rozumiem, w tablicach tego nie mam, a w mianowniku mamy sumę,której nie można rozbić.

pozdrawiam.

edit://ja zrobiłem to tak,że za mianownik podstawiłem t i końcowy wynik wyszedł mi \(\displaystyle{ ln(|1+sinh^{2}x|)}\). dobrze to jest?

edit2:// chyba jednak źle to zrobiłem, źle policzyłem pochodną t. nie wiem więc jak to zrobić:[ wolfram wyrzuca coś takiego::
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false
pozdrawiam.
Ja najpierw rozszerzyłem ułamek o \(\displaystyle{ \cosh{x}}\)
później skorzystałem z jedynki hiperbolicznej
a na koniec podstawienie \(\displaystyle{ t=\sinh{x}}\)
Te podstawienie jest na tyle proste że łatwo je w pamięci wykonać

osa750
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 paź 2009, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rabka-Zdrój
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

Problem z całką

Post autor: osa750 » 20 cze 2010, o 23:00

Boże, widzisz i nie grzmisz! Nie lepiej na http://www.wolframalpha.com zajrzeć? Wstukujesz funkcję i tyle. Tam Ci liczy całki i jeszcze pokazuje JAK policzyć krok po kroku [po kliknięciu w "show steps"] Poza tym, jak masz jakiś paskudny ułamek - jak tamten - to go też rozłoży automatycznie.

Chociaż czasami kłamie i mówi, że się nie da policzyć. Ale to już inna sprawa.

W prawdzie ów strona nie zawsze pokazuje najprostszy sposób, ale zawsze coś pokaże.

PS: Z góry przepraszam za umieszczenie linka (to do administracji) - ale ta strona na prawdę wiele pomaga i mogłaby ograniczyć spam do minimum, gdyby wszyscy tą stronę znali

Pozdrawiam

Feliks1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 14 sty 2009, o 13:37
Podziękował: 8 razy

Problem z całką

Post autor: Feliks1990 » 21 cze 2010, o 00:09

nawet wolfram nie umie ruszyć \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{1-x- x^{4}- x^{5} }}\);p
pozdrawiam.

osa750
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 paź 2009, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rabka-Zdrój
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

Problem z całką

Post autor: osa750 » 21 cze 2010, o 00:31

A to przepraszam, zwracam honor xD
Ty... kurna, rzeczywiście paskudne to wychodzi! A to jakieś zadanie domowe jest czy coś?

Nawet pierwiastki mianownika wychodzą paskudne. Co z tego, że zespolone, ale i tak brzydkie, bo gdyby ładne były, to by można było coś pokombinować z porównywaniem części rzeczywistej i urojonej przy rozkładzie.

A tak, to podaje jeszcze tylko "przybliżone wartości" tych miejsc zerowych. Proponuję z tym przykładem dać sobie siana i zabrać się za inne, bo ten jest na prawdę paskudny.

Ale stronę sobie zapisz! Najlepiej nad łóżkiem. Bo poza całkami liczy macierze nawet i inne rzeczy. Warto tą stronę znać

Aha, fajnie, cały czas z niej korzystałeś a ja nie zauważyłem ^^ ślepy jestem...

ODPOWIEDZ