[Planimetria] Sześciokąt o bokach równoległych

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Mistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 637
Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 135 razy

[Planimetria] Sześciokąt o bokach równoległych

Post autor: Mistrz » 18 cze 2010, o 22:55

Dany jest sześciokąt, którego przeciwległe boki są do siebie równoległe. Dowieść, że proste łączące środki przeciwległych boków przecinają się w jednym punkcie.

Awatar użytkownika
tkrass
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1464
Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 186 razy

[Planimetria] Sześciokąt o bokach równoległych

Post autor: tkrass » 19 cze 2010, o 12:20

Ja bym sobie rozważył środek symetrii tego sześciokąta. To znaczy pomyślał sobie czy on istnieje, a jeżeli by się przypadkiem okazało, że tak, to gdzie leży i jaki to ma związek z tymi prostymi.

Awatar użytkownika
Mistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 637
Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 135 razy

[Planimetria] Sześciokąt o bokach równoległych

Post autor: Mistrz » 19 cze 2010, o 15:09

Nie... On nie musi mieć środka symetrii, choćby ze względu na to, że te przeciwległe boki nie muszą być równej długości. Trzeba chyba zacząć od czegoś innego.

Awatar użytkownika
XMaS11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 6 mar 2008, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kielce
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 47 razy

[Planimetria] Sześciokąt o bokach równoległych

Post autor: XMaS11 » 29 cze 2010, o 15:50

Można to zrobić z tw. Cevy :
Oznaczmy jakoś wierzchołki tego sześciokąta, powiedzmy \(\displaystyle{ A B C D E F}\). Niech \(\displaystyle{ A_1,...F_1}\) oznaczają środki odcinków \(\displaystyle{ AB,...FA}\) odpowiednio.Najpierw takie proste spostrzeżenie: czworokąt \(\displaystyle{ ABDE}\) to trapez, o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DE}\). Zatem odcinki \(\displaystyle{ AD,BE,A_1D_1}\), przecinają się w jedynym punkcie, powiedzmy \(\displaystyle{ X}\). Analogiczne punkty dla odcinków \(\displaystyle{ B_1E_1}\) i \(\displaystyle{ C_1F_1}\) nazwijmy \(\displaystyle{ Y,Z}\) odpowiednio. Teraz chcemy zastosować trygonometrycznego Ceve dla trójkąta \(\displaystyle{ XYZ}\) (kiedy \(\displaystyle{ AD,BE,CF}\) przecinają się w jednym punkcie, to po naszym spostrzeżeniu teza jest oczywista). W trójkącie \(\displaystyle{ AXB}\) odcinek \(\displaystyle{ XA_1}\) jest środkową. Oznacza to, że iloraz sinusów kątów \(\displaystyle{ AXA_1}\) i \(\displaystyle{ BXA_1}\) jest równy stosunkowi boków : \(\displaystyle{ \frac{BX}{AX}}\). Z kolei \(\displaystyle{ \frac{BX}{AX} = \frac{BE}{AD}}\). Wyliczając podobne stosunki sinusów dla kątow przy odcinkach \(\displaystyle{ YE_1}\) i \(\displaystyle{ ZC_1}\) dostajemy z trygonometrycznego Cevy, że przecinają się one w jednym punkcie (konkretnie dostajemy do pokazania, że \(\displaystyle{ \frac{AD}{BE} \cdot \frac{BE}{CF} \cdot \frac{CF}{AD} =1}\), co nie przedstawia większych trudności) , więc odcinki \(\displaystyle{ A_1D_1}\), \(\displaystyle{ B_1E_1}\) i \(\displaystyle{ C_1F_1}\) również, co chcieliśmy dowieść.

Awatar użytkownika
Mistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 637
Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 135 razy

[Planimetria] Sześciokąt o bokach równoległych

Post autor: Mistrz » 29 cze 2010, o 21:26

Ha! Faktycznie działa
Sam próbowałem to zrobić podobnym sposobem. Chciałem zastosować twierdzenie Cevy do tego samego trójkąta, niestety nie znałem jego trygonometrycznej wersji.
Dzięki.

ODPOWIEDZ