Zbiór wartości wielomianu nieparzystego stopnia

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
chlorofil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 548
Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 96 razy

Zbiór wartości wielomianu nieparzystego stopnia

Post autor: chlorofil » 18 cze 2010, o 00:20

Witam,

Próbuję pokazać, że zbiór wartości funkcji będącej wielomianem stopnia nieparzystego jest równy R. Wydawało mi się z początku, że nic prostszego - wystarczy wykorzystać twierdzenie Darboux. Moje rozumowanie było następujące:

Mamy wielomian:
\(\displaystyle{ W(x) = a_{1}x^{n} + a_{2}x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_{n}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a_{1}>0}\) to dla \(\displaystyle{ x \rightarrow -\infty}\) mamy \(\displaystyle{ W(x) \rightarrow -\infty}\) zaś dla \(\displaystyle{ x \rightarrow +\infty}\) mamy \(\displaystyle{ W(x) \rightarrow +\infty}\). Korzystając z faktu, że wielomian jest funkcją ciągłą i z tw. Darboux, możemy powiedzieć, że funkcja będzie przyjmowała wszystkie wartości pośrednie pomiędzy \(\displaystyle{ -\infty}\) a \(\displaystyle{ \infty}\). Analogicznie dla \(\displaystyle{ a_{1}<0}\). Jednak nie możemy tego twierdzenia wykorzystać, bo jest w nim mowa po pierwsze o przedziale domkniętym, a po drugie jest też mowa o najmniejszej i największej wartości funkcji. Nie ma mowy o nieskończonościach. Jak więc 'poprawić' mój dowód?

Pozdrawiam,
chlorofil

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Zbiór wartości wielomianu nieparzystego stopnia

Post autor: bartek118 » 18 cze 2010, o 12:51

Moim zdaniem wystarczy powiedzieć, że ma różne nieskończone granice + i - nieskończoności, i że po prostu jest ciągła w każdym punkcie dziedziny.
Można spróbować zrobić to tak, że bierzemy przedział [a, b] taki, że znajdują się w nim wszystkie miejsca zerowe, Potem pokazujemy, że na lewo i prawo od tego przedziału funkcja jest monotoniczna (z jednej strony rosnąca, a z drugiej malejąca, i że ma różne granice nieskończone w różnych nieskończonościach.

chlorofil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 548
Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 96 razy

Zbiór wartości wielomianu nieparzystego stopnia

Post autor: chlorofil » 18 cze 2010, o 18:11

No właśnie nie musi być monotoniczna. Oczywiście w określonym przedziale będzie. Ale to wszystko trzeba jakoś formalnie zapisać. W tw. Darboux mowa jest o liczbach, nie o nieskończonościach...

ODPOWIEDZ