metryka z nieskończenie oddalonymi punktami

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
ymar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 413
Rejestracja: 13 sie 2005, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 24 razy

metryka z nieskończenie oddalonymi punktami

Post autor: ymar » 17 cze 2010, o 16:12

Czy uogólnia się pojęcie metryki na funkcje z kwadratu przestrzeni w zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+ \cup \{0,\,\infty\}}\)?

Tzn. \(\displaystyle{ d:\,A^2 \rightarrow \mathbb{R}_+ \cup \{0,\,\infty\}}\) i spełnia aksjomaty metryki. Jeśli coś takiego się rozważa, to jak to się nazywa? Gdzie można o tym przeczytać? Może wy coś powiecie?

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

metryka z nieskończenie oddalonymi punktami

Post autor: pyzol » 17 cze 2010, o 16:41

Wezmy sobie:
\(\displaystyle{ d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|}\)
Przy czym zalozmy, ze:
\(\displaystyle{ \arctan\infty=\pi/2}\)
Powinno spelniac wymogi definicji metryki.

Awatar użytkownika
ymar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 413
Rejestracja: 13 sie 2005, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 24 razy

metryka z nieskończenie oddalonymi punktami

Post autor: ymar » 17 cze 2010, o 17:03

Zaraz, zaraz. To może źle wyraziłem swoje pytanie, bo to nie jest odpowiedź na nie Jeszcze raz: chodzi mi o pojęcie szersze niż pojęcie metryki. To, co podałeś, to zwykła metryka (też myślę, że spełnia, nie chce mi się sprawdzać). Metryka jest funkcją w zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych. I Twoja to spełnia. Mi chodzi o zezwolenie na punkty oddalone od siebie o nieskończoność. To znaczy o zezwolenie, żeby wartość funkcji odległości przyjmowała wartość nieskończoność. Zwykłe pojęcie metryki na to nie zezwala.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

metryka z nieskończenie oddalonymi punktami

Post autor: pyzol » 17 cze 2010, o 18:05

Ta pytanie bylo dobre, tylko ja zle zrozumialem. Nie wiem czy jest jakis dzial. Ja nie slyszalem.

Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

metryka z nieskończenie oddalonymi punktami

Post autor: Zordon » 17 cze 2010, o 19:13

Można coś takiego rozważać, ale według mnie nie ma to zbytniego sensu, bo za każdym razem dodanie punktu \(\displaystyle{ \infty}\) generuje problemy, których topolodzy i tak już mają sporo . Zastanów się co by się psuło z nierównością trójkąta.

Awatar użytkownika
ymar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 413
Rejestracja: 13 sie 2005, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 24 razy

metryka z nieskończenie oddalonymi punktami

Post autor: ymar » 17 cze 2010, o 20:13

Nie bardzo rozumiem argument z problemami A jeśli chodzi o nierówność trójkąta, to mogłeś powiedzieć od razu, ale skoro nie to spróbuję rozwiązać zagadkę. Chodzi Ci o to, że nie bardzo można przeformułować ją na postać z odejmowaniem?
EDIT: Aha, no i nie mówiłem o punkcie nieskończoność tylko o punktach nieskończenie odległych. To drugie jest sporo szersze.

ODPOWIEDZ