Ułamki proste

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
cinek2004

Ułamki proste

Post autor: cinek2004 » 7 lis 2004, o 00:33

Może mi ktoś powiedzieć jak rozłożyć poniższą funkcję na ułamki proste?

f(x)= (x^4-2)/(x^3+x)

Próbowałem na kilka sposobów i nie dałem rady.
Jest to dość pilne, więc byłbym wdzięczny za szybką odpowiedź.
Z góry dziękuję!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

marshal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1179
Rejestracja: 21 cze 2004, o 00:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Pomógł: 9 razy

Ułamki proste

Post autor: marshal » 7 lis 2004, o 00:46

hmm... moze cos takiego:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{(x^4-2)}{(x^3+x)}=\frac{(x(x^3+x) - x^2 - 2)}{(x^3+x)}=\frac{x - (x^2+2)}{(x^3+x)}= \frac{x - (\frac{1}{x})\cdot[(x^2 + 1 + 1)}{(x^2 + 1)} = x - (\frac{1}{x})\cdot[1 + \frac{1}{(x^2 + 1)}] = \frac{x - 1}\frac{{x - 1}{(x^3+x)}}}\)

Yavien
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 800
Rejestracja: 21 cze 2004, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W-U

Ułamki proste

Post autor: Yavien » 9 lis 2004, o 00:42

Ulamki proste w przypadku funkcji wymiernych, to nie ulamki o liczniku 1 (tak jest w liczbach wymiernych - Egipcjanie zapisywali np tylko takie ulamki).
Rozlozyc funkcje wymierna (czyli funkcje typu P(x)/Q(x), gdzie P i Q to wielomiany tej samej zmiennej) to znaczy przedstawic ja jako sume ulamkow typu
Tutaj najpierw wylaczamy calosci:
(x4 - 2)/(x3 + x) = (x4 + x2 - x2 - 2)/(x3 + x) = x - (x2 + 2)/(x3 + x)
potem rozkladamy mianownikna iloczyn czynnikow nierozkladalnych: x3 + x = (x2 + 1)*x
rozklad na ulamki proste bedzie wygladal tak:
f(x) = x + A/x + (Bx + C)/(x2 + 1), z porownania wspolczynnikow po sprowadzeniu do wspolnego mianownika mamy, ze A + B = -1 C = 0 A = -2, wiec
f(x) = x - 2/x + x/(x2 + 1)

ODPOWIEDZ