Matematyka.pl

Zadanie brzmi tak:

\(\displaystyle{ l_{1}= [0,-1,2] + lin{(1,2,0)}}\)
\(\displaystyle{ l_{2}= \begin{cases} x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=2\\2x_{1}+2x_{2}-6x_{3}=0\end{cases}}\)
będą prostymi w \(\displaystyle{ R^{3}}\)

Oblicz odległośc między prostymi.

Prosiłbym o jakieś wskazówki do zadania. (Sam schemat rozwiązania)

1) znajdź postać parametryczną obu prostych (lub tylko wektory kierunkowe i punkty)
2) sprawdź czy proste są równoległe

a) jeśli tak, to oblicz odległość dowolnego punktu jednej prostej od drugiej prostej (ze wzoru)
b) jeśli nie, to skorzystaj ze wzoru na odległość prostych skośnych

Pozdrawiam.

BettyBoo pisze: b) jeśli nie, to skorzystaj ze wzoru na odległość prostych skośnych

Zaraz sobie takiego wzoru poszukam, nie ma natomiast żadnego innego sposobu ? w sensie z rzutowaniem np. jakiegos punktu z jednej prostej na druga etc. (i potem szukanie odległości rzutu od punktu?)

Ja dokładnie nie wiem jak znalezc punkt który byłby najdogodniejszy(konkretnie w położeniu najkrótszym), ostatnio ktoś mi tłumaczył sposób że można to z funkcji wielu zmiennych zrobic ( na zasadzie ze zapisac odleglosc jako funkcje i szukac jej minimum) natomiast to jeszcze wykracza poza moje możliwości.

Bardzo dziękuje za dotychczasową pomoc:)

ps. Znalazłem pewne wskazówki w innych Twoich postach, niestety nie do końca wszystko rozumiem.
tzn. 161294.htm konkretnie piszesz tam :

BettyBoo pisze:Się do wzoru wstawia

Jeśli nie możesz tego wzoru używać to robisz tak (de facto wyprowadzasz ten wzór):

Krok 1 piszesz równanie płaszczyzny zawierającej jedną z prostych i równoległą do drugiej
Krok 2 szukasz odległości dowolnego punktu drugiej prostej od płaszczyzny

Pozdrawiam.

punkt pierwszy mam jedno pytanie, czym się różni zawieranie prostej od równoległowości ?

w sensie robie coś takiego :

\(\displaystyle{ l_{1} <-}\) prosta ktora ma się zawierac
\(\displaystyle{ l_{2} <-}\) prosta do której ma byc rownolegla

czyli biorę wektory z przedstawienia parametrycznego obu płaszczyzn i punkt z przedstawienia parametrycznego prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) ?

Ja dokładnie nie wiem jak znalezc punkt który byłby najdogodniejszy(konkretnie w położeniu najkrótszym), ostatnio ktoś mi tłumaczył sposób że można to z funkcji wielu zmiennych zrobic ( na zasadzie ze zapisac odleglosc jako funkcje i szukac jej minimum) natomiast to jeszcze wykracza poza moje możliwości.

Nie ma sensu szukać tego punktu, bo on Ci nie jest do niczego potrzebny - Twoim zadaniem jest obliczenie odległości, a nie znalezienie punktów, które tą odległość realizują.

punkt pierwszy mam jedno pytanie, czym się różni zawieranie prostej od równoległowości ?

Płaszczyzna zawiera prostą = prosta leży na płaszczyźnie (przykład: podłoga i jedna z krawędzi między ścianą a podłogą)
Płaszczyzna jest równoległa do prostej= prosta wcale nie musi na płaszczyźnie leżeć (przykład: podłoga i jedna z krawędzi między ścianą i sufitem).

Ten sposób konstrukcji, który podałam to de facto definicja (geometryczna) odległości prostych skośnych.

W Twoim przypadku może się okazać, że proste nie są skośne, tylko się przecinają (tego przypadku nigdzie nie rozpatrujemy osobno ani nie wykluczamy). To będzie skutkowało tym, że wówczas odległość obliczona ze wzoru dla prostych skośnych będzie równa 0.

Pozdrawiam.