Ciąg arytmetyczny, niestadardowe.

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
sheepy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 6 cze 2010, o 10:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: :)
Podziękował: 14 razy

Ciąg arytmetyczny, niestadardowe.

Post autor: sheepy » 16 cze 2010, o 20:32

Liczby
\(\displaystyle{ sin ^{2}x, cos ^{2}x, 2sinx+1}\)
tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz liczbe x, jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ x \in \left<0, 2 \pi \right>}\)

Awatar użytkownika
nemezis100807
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 30 mar 2009, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Ciąg arytmetyczny, niestadardowe.

Post autor: nemezis100807 » 16 cze 2010, o 20:43

Definicja:
Trzy kolejne liczby \(\displaystyle{ (p,d,t)}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, gdy jest spełniony warunek
\(\displaystyle{ 2d=p+t}\)
Niech:
\(\displaystyle{ p=\sin^{2}{x}}\),
\(\displaystyle{ d=\cos^{2}{x}}\),
\(\displaystyle{ t=2\sin{x}+1}\).
Zatem
\(\displaystyle{ 2\cos^{2}{x}=sin^{2}{x}+2\sin{x}+1}\). Korzystając z jedynki trygonometrycznej
\(\displaystyle{ \cos^{2}{x}=1-\sin^{2}{x}}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ 2(1-\sin^{2}{x})=sin^{2}{x}+2\sin{x}+1}\)
Teraz wystarczy tylko rozwiązać to równanie stosując podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin{t},\quad t\in <-1;1>}\) i gotowe

ODPOWIEDZ