Matematyka.pl

proszę mi pomóc rozwiązać albo pokazać jaki jest algorytm/schemat do rozwiązynia/szukania ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych
np:
a) \(\displaystyle{ 6xy - x^3 - y^3}\)

najpierw obliczasz \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}=6y-3x^2}\)
potem po y: \(\displaystyle{ \frac{df}{dy}=6x-3y^2}\)

Układ równań \(\displaystyle{ 6y-3x^2}\) i \(\displaystyle{ 6x-3y^2}\) przyrównujesz do zera


\(\displaystyle{ \begin{cases} 6y-3x^2=0\\6x-3y^2=0\end{cases}}\)

Wychodzą rozwiązania:

\(\displaystyle{ x=0,y=0}\) lub
\(\displaystyle{ x=2,y=2}\)

Teraz obliczasz drugie pochodne:
\(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2}=-6x}\)
\(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dy^2}=-6y}\)
\(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dxy}=6}\)
W macierz wpisujesz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-6x&6\\6&-6x\end{array}\right]}\) i podstawiasz za x=2, y=2 czyli masz:


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-12&6\\6&-12\end{array}\right]}\)

Wyznacznik obliczasz: det A=108>0

Teraz patrzysz co stoi przy \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2}}\)
-12<0 Czyli w tym punkcie jest maximum lokalne.

Dalej wstawiasz x=0, y=0 i masz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&6\\6&0\end{array}\right]}\) i tutaj korzystasz z definicji