Matematyka.pl

to moje pierwsze spotkanie z tego typu równaniami, nie wiem jak do tego podejść kiedy mam y' i y'' w równaniach

\(\displaystyle{ (1+x^2)y'-2xy=(1+x^2)^2}\)
\(\displaystyle{ y''+y'=4x^3+24}\)

z góry dziękuję za pomoc

spróbuj za y'' podstawic z' a pozniej chyba rozdzielone zmienne

1) Łatwo widać, że funkcja \(\displaystyle{ y(x)=x^3 +x}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ (1+x^2)y' -2xy=(1+x^2)^2 .}\)
Wystarczy więc rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (1+x^2)y' -2xy=0}\) co prowadzi do równania \(\displaystyle{ \frac{dy}{y} =\frac{2xdx}{1+x^2}}\) skąd po scałkowaniu dostajemy \(\displaystyle{ y(x;C)=C(1+x^2 ).}\)
Ostatecznie rozwiązaniem ogólnym wyjsciowego równania jest rodzina \(\displaystyle{ y(x;C)=x^3 +Cx^2 +x +C}\) gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}.}\)