Zbadać zbieżność szeregu. Kryterium Cauchy'ego.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
wierchus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 17 lut 2007, o 20:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie
Podziękował: 9 razy

Zbadać zbieżność szeregu. Kryterium Cauchy'ego.

Post autor: wierchus » 15 cze 2010, o 16:48

Zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n+1}{n+3})^{n^{2}+3n}}\).

Korzystam z kryterium Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{(\frac{n+1}{n+3})^{n^{2}+3n}} = \lim_{n\to\infty} (\frac{n+1}{n+3})^\frac{n^{2}+3n}{n} = \lim_{n\to\infty} (\frac{n+1}{n+3})^{n+3} = \lim_{n\to\infty} (\frac{n+3-2}{n+3})^{n+3} = \lim_{n\to\infty} (1+ \frac{-2}{n+3})^{n+3} = \lim_{n\to\infty} [(1+ \frac{1}{\frac{n+3}{-2}})^\frac{n+3}{-2}]^{-2} = e^{-2} < 1}\)
czyli szereg jest zbieżny.

Czy to jest poprawne rozumowanie? Czy w granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{\alpha_{n}})^{\alpha_{n}} = e}\) może być, że \(\displaystyle{ \alpha_{n}}\) dąży do \(\displaystyle{ -\infty}\) zamiast do \(\displaystyle{ \infty}\)?

miodzio1988

Zbadać zbieżność szeregu. Kryterium Cauchy'ego.

Post autor: miodzio1988 » 15 cze 2010, o 17:49

Jest ok

wierchus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 17 lut 2007, o 20:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie
Podziękował: 9 razy

Zbadać zbieżność szeregu. Kryterium Cauchy'ego.

Post autor: wierchus » 15 cze 2010, o 17:53

Dzięki.

ODPOWIEDZ