Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f=(f_{1},\ldots, f_{n}):\mathbb{C}^{n}\to \mathbb{C}^{n}}\) będzie odwzorowaniem wielomianowym, tzn. \(\displaystyle{ f_{i}\in \mathbb{C}[X_{1},\ldots, X_{n}], \ i=1,\ldots, n}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest injektywne.

Udowodnij, że wówczas \(\displaystyle{ f}\) jest surjektywne.

Można napisać dowód teorio-modelowy. Idea jest taka: teoria \(\displaystyle{ ACF_k}\) jest zupełna (\(\displaystyle{ k\in\{0\}\cup \mathbb{P}}\)), z tego wynika, że jesli jakieś zdanie jest prawdziwe w \(\displaystyle{ ACF_p}\) dla dowolnie dużych \(\displaystyle{ p}\) to jest też prawdziwe w \(\displaystyle{ ACF_0}\) (indeksy oznaczają charakterystykę). Dosyć łatwo wykazać, że dla ciał alg. dom. o charakterystyce dodatniej to twierdzenie jest prawdziwe, zatem w ciałach alg. dom. charakterystyki 0 również.

Dokładnie taki dowód pokazał mi kolega, który powiedział mi o tym twierdzeniu (nosi ono nazwę twierdzenia Grothendiecka-Axa).
Naprawdę zacne rozumowanie.
(:

Wzmocnijmy nieco tezę, aby problem był ciekawszy:

Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Niech \(\displaystyle{ f=(f_{1},\ldots, f_{n}):F^{n}\to F^{n}}\) będzie odwzorowaniem wielomianowym, tzn. \(\displaystyle{ f_{i}\in F[X_{1},\ldots, X_{n}], \ i=1,\ldots, n}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest injektywne.

Udowodnij, że wówczas \(\displaystyle{ f}\) jest surjektywne (a więc bijektywne) a odwzorowanie odwrotne do \(\displaystyle{ f}\) również jest odwzorowaniem wielomianowym.-- 25 sierpnia 2010, 21:17 --Aha, zapomniałem: \(\displaystyle{ F}\) ma być charakterystyki zero, bo inaczej automorfizm Frobeniusa psuje tezę.

Proszę mi wybaczyć 3 posty pod rząd, jeśli to sprawia komuś negatywne wrażenia estetyczne.

Zajebiście fajne...