Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu [3]

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
klaudys09
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 cze 2010, o 19:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wroc

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu [3]

Post autor: klaudys09 » 14 cze 2010, o 20:06

Zbadać zbieżność szeregów:

* \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{ \pi }{n} \right) ^{n} \cdot n!}\)

* \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n ^{2} }{ \left(n+1 \right) ^{2} \cdot 2 ^{n} }}\)

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu :

* \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n+1} \frac{n}{n+1}}\)

kolorowe skarpetki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdynia
Pomógł: 64 razy

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu [3]

Post autor: kolorowe skarpetki » 15 cze 2010, o 11:17

Zadanie 2
\(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(n+1)^2\cdot 2^n}}\)
WK zbieżności szeregu :
\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2\cdot 2^n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^2} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}=}\)
\(\displaystyle{ =1 \cdot 0=0 \, \,}\) OK
\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+2)^2 \cdot 2^{n+1}} \cdot \frac{2^n(n+1)^2}{n^2}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2 \cdot (n+1)^2}{2n^2(n+2)^2}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(1+\frac{1}{n})^2 \cdot (1+\frac{1}{n})^2}{2(1+\frac{2}{n})^2}=\frac{1}{2} \, < \, 1}\)
Na mocy kryterium d'Alemberta szereg jest zbieżny.

Zadanie 3
\(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}}\)
Zauważmy, że : \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n=0 \, \Longleftrightarrow \, \lim_{n \rightarrow \infty} \vert a_n \vert =0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \vert a_n \vert = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1 \neq 0}\)
Warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, szereg jest rozbieżny.

ODPOWIEDZ