Oblicz granicę ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
mikrobart
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 436
Rejestracja: 29 paź 2009, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 63 razy
Pomógł: 38 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: mikrobart » 14 cze 2010, o 15:07

Proszę krok po kroku

a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[3]{ \frac{27n^2+n+1}{-8n^2+4n+8} }}\)

b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2ncosn \frac{ \pi }{2} }{1-n^2}}\)

c)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}}\)
Ostatnio zmieniony 14 cze 2010, o 15:33 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: lukasz1804 » 14 cze 2010, o 15:32

a) Mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{27n^2+n+1}{-8n^2+4n+8}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2(27+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(-8+\frac{4}{n}+\frac{8}{n^2})}=-\frac{27}{8}}\).
Stąd wobec ciągłości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\sqrt[3]{x}}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{27n^2+n+1}{-8n^2+4n+8}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}}\)

b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2ncosn \frac{ \pi }{2} }{1-n^2}=\lim_n\to\infty}(\frac{n^2}{1-n^2}+\frac{2n\cos n\frac{\pi}{2}}{1-n^2})=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{1-n^2}+\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n^2}\cos n\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2(\frac{1}{n^2}-1)}+\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n^2}\cos n\frac{\pi}{2}=-1+0=-1}\),
gdyż ciąg \(\displaystyle{ (\cos n\frac{\pi}{2})_{n\in\mathbb{N}}}\) jest ograniczony, a \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n^2}=0}\).

c)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot 2^n+2\cdot 3^n+3^n}{2^n+3^n}=2+\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2^n+3^n}=2+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{2^n+3^n}{3^n}}=2+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{2}{3})^n+1}=2+\frac{1}{0+1}=2+1=3}\)

Awatar użytkownika
mikrobart
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 436
Rejestracja: 29 paź 2009, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 63 razy
Pomógł: 38 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: mikrobart » 14 cze 2010, o 16:10

lukasz1804, a taki przykład:

a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^n+7^n}{(-2)^n+7^{n+1}}}\)
Ostatnio zmieniony 14 cze 2010, o 16:22 przez mikrobart, łącznie zmieniany 1 raz.

miodzio1988

Oblicz granicę ciągu

Post autor: miodzio1988 » 14 cze 2010, o 16:18

mikrobart, analogicznie jak przyklad c

Awatar użytkownika
mikrobart
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 436
Rejestracja: 29 paź 2009, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 63 razy
Pomógł: 38 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: mikrobart » 14 cze 2010, o 16:23

Źle przepisałem przykład, już poprawiłem, ten -2 bardzo komplikuje mi tok myślenia.

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: Althorion » 14 cze 2010, o 16:24

To zrób tak jak c + trzy ciągi.

Awatar użytkownika
mikrobart
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 436
Rejestracja: 29 paź 2009, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 63 razy
Pomógł: 38 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: mikrobart » 14 cze 2010, o 16:28

Nie rozumiem, bardzo proszę jaśniej

miodzio1988

Oblicz granicę ciągu

Post autor: miodzio1988 » 14 cze 2010, o 16:30

Zrob to samo co w c najpierw. Majac granice z minusuem pod potega mozesz od razu stwierdzic ile ta granica jest rowna. Analogiczny przyklad wiec nie wiem w czym problem

Awatar użytkownika
mikrobart
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 436
Rejestracja: 29 paź 2009, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 63 razy
Pomógł: 38 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: mikrobart » 14 cze 2010, o 19:22

Na prawdę nie wiem, jak analogicznie. Proszę o zrobienie krok po kroku

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: Lbubsazob » 14 cze 2010, o 19:28

Zaczęłabym tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^n+7^n}{(-2)^n+7^{n+1}}= \lim_{n \to \infty } \frac{7^n \left( \frac{2^n}{7^n} +1\right) }{ \left(-2 \right)^n+7^n \cdot 7 }= \lim_{n \to \infty } \frac{7^n \left( \left( \frac{2}{7} \right) ^n +1\right) }{7^n \left( \frac{(-2)^n}{7^n}+7 \right) }=...}\)

miodzio1988

Oblicz granicę ciągu

Post autor: miodzio1988 » 14 cze 2010, o 20:01

mikrobart pisze:Na prawdę nie wiem, jak analogicznie. Proszę o zrobienie krok po kroku
Wez chlopie sobie jaj nie rob. Chcesz sie tego nauczyc tak? (wiek 16 lat) No to kurde zacznij sam robic te zadania. Zadanie sie robi tak samo wiec nie ma potrzeby zeby Ci pokazac krok po kroku co trzeba robic. Jak sobie nie dajesz rady to sobie daruj nauke.

ODPOWIEDZ