Matematyka.pl

Proszę tylko o pomoc o zapisanie równania bez liczenia.
1.Oblicz całke \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} y dxdy}\)
D:obszar ograniczony liniami
\(\displaystyle{ y=8-x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y=x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x \ge 0}\)

2.Oblicz \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} x \cdot y dxdy}\)
D: Pierwsza ćwiartka koła o promieniu 2 o środku (0,0)

Prosze tylko o zapisanie całek jak to ma wygladać bedę bardzo wdzięczny.
Pozdrawiam
MAGDA

Zadanie 1

Rysujesz zbiór D w układzie współrzędnych i zapisujesz jako obszar normalny np. względem osi OX :

\(\displaystyle{ D=\left \{ (x,y) \in \mathbbm{R}^2 : 0 \leq x \leq 2 , x^2 \leq y \leq 8-x^2 \right \}}\)

\(\displaystyle{ \iint \limits_D y \, dx dy=\int \limits_{0}^2 \left (\int \limits_{x^2}^{8-x^2} y \, dy \right ) \,dx=\ldots}\)

Zadanie 2

Rysujemy zbiór D w układzie współrzędnych i dokonujemy zamiany zmiennych na współrzedne biegunowe :

\(\displaystyle{ x=r \cos \varphi \, , \, y=r \sin \varphi \, , \, \vert J \vert = r \, , \, \varphi \in [0,\frac{\pi}{2} ] \, , \, r \in [0,2]}\)

\(\displaystyle{ \iint \limits_D x \cdot y \, dx dy=\int \limits_{0}^2 \left (\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} r \cos \varphi \cdot r \sin \varphi \cdot r \, d\varphi \right ) \,dr=\ldots}\)

rozumiem dziękuję tylko jedno czemu w pierwszy jest \(\displaystyle{ 1 \le x \le 2}\) ? skad ta 1 i 2 sie wziela?

Poprawiłam. Przesyłam rysunek - mam nadzieję, że coś widać

oh bardzo ci dziekuje masz odemnie wielkiego całusa !. Jestes pewien tych rozwiazan?
btw a skad wiesz ze jest to przedzial od 0-2 a nie ten obszar od 0 do 2 \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
btw2 dałam ostatni przyklad tam znajdziesz moj post przez madzia7 . Bardzo bym była wdzieczna zza rozwiazanie
:*

Tak, \(\displaystyle{ 0 \leq x \leq 2}\). I nie jestem pewien a pewna .Dwójka to jeden z punktów przecięcia wykresów \(\displaystyle{ y=x^2,y=8-x^2}\):

te zadanie drugie jak dalej liczyc? czy za x i y trzeba napewno podstawiac sin i cos? bardzo prosze o policzenie tej pierwszej całki