równanie różniczkowe zupełne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
one.one
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 12 cze 2010, o 12:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 10 razy

równanie różniczkowe zupełne

Post autor: one.one » 13 cze 2010, o 14:22

Witajcie, zacinam się w równaniach różniczkowych. Czy mógłby mi ktoś napisać dalsze rozwiązanie?

\(\displaystyle{ (y ^{2}-sinx)dx+(2xy+ \frac{1}{y} ) dy=0}\)
Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ P _{y} =2y}\)
\(\displaystyle{ Q _{x} =2y}\)

Zatem równanie jest zupełne
\(\displaystyle{ F(x,y)= \int_{}^{} Pdx=y ^{2} \int_{}^{} -sinxdx=y ^{2} cosx+f(y)}\)
\(\displaystyle{ U _{y} F=Q \Rightarrow 2y <?>+f'(y)=2xy+ \frac{1}{y}}\)

i teraz już nie wiem jak dalej :/ Bardzo proszę o pomoc!


.............................

Mam jeszcze jeden problem. Właśnie zaczęłam rozwiązywać takie równanie:
\(\displaystyle{ (2x+siny)dx+(xcosy+e ^{y} )dy=0}\)
\(\displaystyle{ P _{y} =cosy}\)
\(\displaystyle{ Q _{x} =-xsiny+e ^{y}}\)

Wychodzi mi, że równanie niezupełne... czy dobrze w ogólne napisałam pochodne?

ofpaulus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 31 sty 2010, o 19:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

równanie różniczkowe zupełne

Post autor: ofpaulus » 13 cze 2010, o 15:38

\(\displaystyle{ 1. \frac{\partial F}{ \partial X} = y^2-sinx
\newline
2. \frac{\partial F}{ \partial Y} = 2xy + \frac{1}{y}}\)


teraz np z 1 liczysz po dx, jak z 2 to całka po dy:
\(\displaystyle{ F(x,y) = \int (y^2 - sinx)dx \newline
F(x,y) = y^2 + cos(x) + C(y) \newline}\)

następnie liczysz pochodną tej całki ale po dy
\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{ \partial Y} y^2 + cos(x) + C(y) = 2y+C'(y)}\)
przyrównujemy do 2.
\(\displaystyle{ 2y + C'(y) =2xy + \frac{1}{y} \newline
C'(y) =2xy + \frac{1}{y} - 2y \newline
C(y)=\int (2xy + \frac{1}{y} - 2y)dy \newline
C(y)=y^2(x-1) + ln(y)}\)

jeżeli sie nie pomyliłem to wynik bedzie:
\(\displaystyle{ y^2 + cos(x) + y^2(x-1) + ln(y)}\)
Jeżeli ktoś potwierdzi to znaczy ze dobrze rozkminiłem )

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

równanie różniczkowe zupełne

Post autor: lukasz1804 » 13 cze 2010, o 15:50

Powinno być \(\displaystyle{ F(x,y)=\int P(x,y)dx=\int(y^2-\sin x)dx=xy^2+\cos x+f(y)}\) i dalej \(\displaystyle{ 2xy+\frac{1}{y}=Q(x,y)=F_y(x,y)=2xy+f'(y)}\), skąd \(\displaystyle{ f(y)=\int\frac{dy}{y}=\ln|y|}\).

Zatem \(\displaystyle{ F(x,y)=xy^2+\cos x+\ln|y|}\). Rozwiązaniami równania są zatem funkcje \(\displaystyle{ \varphi}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ x\varphi^2(x)+\cos x+\ln|\varphi(x)|=c}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest pewną stałą. (Można by jeszcze próbować znaleźć ograniczenie możliwych wartości stałej \(\displaystyle{ c}\), ale to nie zawsze udaje się uzyskać dokładnie).

one_one, w drugim równaniu jest \(\displaystyle{ P_y=\cos y=Q_x}\), więc równanie jest zupełne.

one.one
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 12 cze 2010, o 12:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 10 razy

równanie różniczkowe zupełne

Post autor: one.one » 13 cze 2010, o 16:17

lukasz, a tam z całką to nie bierzemy y za stałą? Bo x bierzemy za stałą jak całkujemy po dy, no nie?

tzn żeby wyszło \(\displaystyle{ y ^{2} \int_{}^{} -sinxdx=y ^{2}+cosx +c}\)

-- 13 cze 2010, o 16:21 --

I mam jeszcze pytanie do zad 2

tzn zaczynam całkować i się zacinam, tzn:

\(\displaystyle{ F(x,y)= \int_{}^{} P dx= \int_{}^{} (2x+siny)dx= ?}\)

czyli y traktuję jako stałą i mogę całego siny wyciągnąć przed całkę?
Ostatnio zmieniony 13 cze 2010, o 16:30 przez one.one, łącznie zmieniany 1 raz.

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

równanie różniczkowe zupełne

Post autor: lukasz1804 » 13 cze 2010, o 16:24

Ale nie ma sensu takie twierdzenie, które orzekałoby, że \(\displaystyle{ \int(c+f'(x))dx=c+\int f'(x)dx=c+f(x)}\). Prawdziwy jest tylko wzór pozwalający wyłączać przed znak całki stały czynnik w iloczynie, tj. \(\displaystyle{ \int cf'(x)dx=c\int f'(x)dx=cf(x)}\).

one.one
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 12 cze 2010, o 12:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 10 razy

równanie różniczkowe zupełne

Post autor: one.one » 13 cze 2010, o 16:31

A no tak, dzięki za poprawkę!!

mam jeszcze prośbę, mógłbyś mi rozkminić drugą całkę?

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

równanie różniczkowe zupełne

Post autor: lukasz1804 » 13 cze 2010, o 16:40

one.one pisze: \(\displaystyle{ F(x,y)= \int_{}^{} P dx= \int_{}^{} (2x+siny)dx= ?}\)

czyli y traktuję jako stałą i mogę całego siny wyciągnąć przed całkę?
Tutaj znów pod całką mamy sumę funkcji, a nie iloczyn, wiec reguła wyłączania stałej przed znak całki nie obowiązuje. Mamy \(\displaystyle{ F(x,y)=x^2+x\sin y+f(y)}\), więc \(\displaystyle{ x\cos y+e^y=Q(x,y)=F_y(x,y)=x\cos y+f'(y)}\), tj. \(\displaystyle{ f(y)=e^y}\). W konsekwencji mamy \(\displaystyle{ F(x,y)=x^2+x\sin y+e^y}\) i rozwiązania równania są funkcjami określonymi wzorem \(\displaystyle{ x^2+x\sin\varphi(x)+e^{\varphi(x)}=c}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest pewną stałą (tu znów trudno podać zakres jej wartości).

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ