znaleźć jądro i obraz przekształcenia:

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
mith
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 5 paź 2009, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy

znaleźć jądro i obraz przekształcenia:

Post autor: mith » 13 cze 2010, o 13:53

wyznaczyć macierz przekształcenia w bazach kanonicznych oraz jądro i obraz przekształcenia.
\(\displaystyle{ \alpha ( \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}) = (c-2d)x^2+(2x-4d+a)x+2a}\)

więc:
bazy kanoniczne:
\(\displaystyle{ A=(\begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix})}\)
\(\displaystyle{ B=(x^2,x,1)}\)
teraz wyznaczam:
\(\displaystyle{ \alpha (\begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix}) = x+2 = 0 * x^2 +1*x +2*1}\)
podobnie dla innych wektorów z bazy A:
\(\displaystyle{ \alpha(\begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix} )= 0*x^2-4*x+0*1}\)
\(\displaystyle{ \alpha(\begin{bmatrix} 0&0\\1&0\end{bmatrix})= 1*x^2+2*x+0*1}\)
\(\displaystyle{ \alpha(\begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix})=-2*x^2+0*x+0*1}\)


i na tej podstawie powstaje macierz przekształcenia:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&1&-2\\1&-4&2&0\\2&0&0&0\end{bmatrix}}\)


problem pojawia sie podczas wyznaczania jądra i obrazu jądro mogę wyznaczyć tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&1&-2\\1&-4&2&0\\2&0&0&0\end{bmatrix} \rightarrow}\) w3 - 1/2 w4\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&1&-2\\0&-4&2&0\\2&0&0&0\end{bmatrix}}\)
więc:
\(\displaystyle{ c=2d}\)
\(\displaystyle{ 4b=2c}\)
\(\displaystyle{ d=0.5c}\)
\(\displaystyle{ b= 0.5c}\)
\(\displaystyle{ Ker \alpha = \begin{bmatrix} a&0.5c\\c&0.5c\end{bmatrix}=a*\begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix} 0&0.5\\1&0.5\end{bmatrix}}\)

jak wyznaczyć obraz?

Awatar użytkownika
Gacuteek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1075
Rejestracja: 13 mar 2008, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 272 razy

znaleźć jądro i obraz przekształcenia:

Post autor: Gacuteek » 13 cze 2010, o 14:16

końcówka jest kiepska... (z rozw. url wynika że a=0)...

Łatwo zauważyć że w macierzy \(\displaystyle{ \mathcal{M}^{A}_{B}(\alpha)}\) kolumny \(\displaystyle{ c_{1} , c_{2}, c_{4}}\) są liniowo niezależne, zatem macierze \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix}}\) , \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix}}\) ,\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix}}\) tworzą bazę obrazu przekształcenia \(\displaystyle{ \alpha}\)

ODPOWIEDZ