udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
kullcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 lut 2010, o 09:08
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy

udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a

Post autor: kullcia » 13 cze 2010, o 11:48

Witam! czy moglabym prosić o pomoć w rozwiązaniu zadania:
udowodnić za pomocą tw Lagrange'a podaną nierówność
\(\displaystyle{ a,b \in R}\)
\(\displaystyle{ |ln(1+ b^{2}) -ln(1+ a^{2})|<|b-a|}\)
z góry dziękuję!

knrt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a

Post autor: knrt » 13 cze 2010, o 12:21

Chyba należy zastosować to twierdzenie (o wartości średniej) dla funkcji danej wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\ln\left(1+x^2\right)}\). Jaki przedział?

kullcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 lut 2010, o 09:08
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy

udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a

Post autor: kullcia » 13 cze 2010, o 12:45

tak, właśnie to twierdzenie należy zastosować, ale niestety nie wiem jak;/
\(\displaystyle{ a,b \in R}\) tylko tyle wiemy.

knrt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a

Post autor: knrt » 13 cze 2010, o 20:26

A co by było gdyby ustalić parametry \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że np. \(\displaystyle{ a<b}\) oraz rozpatrzyć przedział o końcach w tych punktach?

Założenia twierdzenia będą spełnione? Jeśli tak, to co dostajemy na podstawie tego twierdzenia (jak teza)?

zielarz72
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 13 cze 2010, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ketrzyn

udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a

Post autor: zielarz72 » 13 cze 2010, o 23:55

Nie jestem tylko pewny czy tam nie powinno być znaku \(\displaystyle{ \le}\)
Reszta jest dość prosta - przynajmniej na to wygląda. Nierówność można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+b ^{2} \right) - \ln \left(1+a ^{2} \right)}{ \left( b-a\right) } \le 1 \quad dla \quad b > a \quad i \quad \left| b\right| \ge \left| a\right|}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+b ^{2} \right) - \ln \left(1+a ^{2} \right)}{ \left( b-a\right) } \ge -1 \quad dla \quad b > a \quad i \quad \left| b\right| < \left| a\right|}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+a ^{2} \right) - \ln \left(1+b ^{2} \right)}{ \left( a-b\right) } \le 1 \quad dla \quad a > b \quad i \quad \left| a\right| \ge \left| b\right|}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+a ^{2} \right) - \ln \left(1+b ^{2} \right)}{ \left( a-b\right) } \ge -1 \quad dla \quad a > b \quad i \quad \left| a\right| < \left| b\right|}\)
czyli pochodna funkcji \(\displaystyle{ \ln \left( 1+x ^{2} \right) \qwad dla \qwad \quad x \in \left(a,b \right)}\) musi być większa od -1 i mniejsza od 1
teraz tylko udowodnij, że:
\(\displaystyle{ -1 \le \frac{2x}{1+x ^{2} } \le 1 \quad dla \quad kazdego \quad x}\)
co nie wymaga chyba opisu na forum.
Przypadek a = b rozwiązuje się sam.
Nie jestem z wykształcenia matematykiem - moje rozwiązanie jest intuicyjne, więc warto je skonsultować. Pozdrawiam

knrt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a

Post autor: knrt » 14 cze 2010, o 07:53

\(\displaystyle{ \frac{2x}{1+x ^{2} } \le 1 \Leftrightarrow x^2-2x+1 \ge 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 \ge 0}\)

Ale postępujesz inaczej niż prosiłem. Jaka jest teza twierdzenia Lagrange'a?

ODPOWIEDZ