Matematyka.pl

Witajcie, bardzo proszę o pomoc!

Zaczęłam robic takie rówanai różniczkowe metodą Mernulliego, ale stanęłam i nie wiem co dalej :/

1)
\(\displaystyle{ y'+ytgx=y ^{3}}\)

\(\displaystyle{ y'+ytgx-y ^{3} =0}\)
podstawienie: \(\displaystyle{ z=y ^{1-3}= \frac{1}{y ^{2} } \Rightarrow z'=- \frac{2}{y ^{3} }y' \Rightarrow y'=- \frac{1}{2} z'y ^{3}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} z'y ^{3} +ytgx-y ^{3} =0}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} z'+ \frac{tgx}{y ^{2} } -y ^{3} =0}\)
\(\displaystyle{ z'-2ztgx+y ^{3} =0}\)

Czy da się coś z tym jeszcze to równanie , czy szukać metodą RORRLJ rozdz. zmiennych?

2)
\(\displaystyle{ y'+ \frac{2xy}{x ^{2}+1 } =xy ^{2}}\)

\(\displaystyle{ y'+ \frac{2xy}{x ^{2}+1 } -xy ^{2}=0}\)

podstawianie: \(\displaystyle{ z=y ^{1-3} = \frac{1}{y}}\)
\(\displaystyle{ z'=- \frac{1}{y ^{2} } y' \Rightarrow y'=-z'y ^{2}}\)

\(\displaystyle{ -z'y ^{2} + \frac{2xy}{x ^{2}+1 } -xy ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ -z' + \frac{2xy}{y ^{2} (x ^{2}+1 )} -x=0}\)

i nie wiem jak dalej uprościć równanie :/

Co do pierwszego zadania coś poknocone.
Podstawienie wydaje sie byc dobre, ale...
podziel całość przez \(\displaystyle{ y^3}\)

wstaw do równania wyjściowego swoje podstawienie jeszcze raz bo źle...

powinno według mnie wyjść tak:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} z' +ztgx = 1}\)

i dalej:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} z' +ztgx =0}\)

i dalej rozdzielasz zmienne.

a no faktycznie, a jak będzie z drugim?
dziękuję za pomoc!

drugie analogicznie do pierwszego, wystarczy dobrze podstawić.

\(\displaystyle{ -z' - z \frac{2x}{x^2+1} = x}\)

okon, mam jeszcze jedno pytanie tzn próbowałam dalej rozwiązywać i mam problem :/:/

tzn tak:

\(\displaystyle{ z'-2ztgx+a=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dz}{z} =(2tgz-1)dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dz}{z}=2 \int_{}^{} tgx-1 dx}\)
\(\displaystyle{ ln|z|=2(-ln|x|-x+ln|c|}\)
\(\displaystyle{ \frac{z}{c} =-2x-2x}\)
\(\displaystyle{ \frac{z}{c} =-4x}\)
czy dobrze robię do tego momentu? Bo już zaczyna mnie szlak trafiać :/