Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
albatros_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 cze 2010, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: albatros_ » 12 cze 2010, o 15:23

Witam,
proszę o sprawdzenie/naprowadzenie na rozwiązanie tych zadań:

1. Tworząca stożka ma 13 cm, a średnica podstawy 10 cm. Oblicz Pc i V stożka.
2. Promień podstawy walca ma 3 cm, wysokość 10cm. Oblicz Pc i V walca.
3. Pole koła wielkiego kuli jest równe 6,25π. Oblicz średnicę kuli.
4. Tworząca stożka ma 6√2 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość stożka.
5. Kąt rozwarcia stożka to 60°, Pp=16π cm². Oblicz wysokość stożka.

6. Oblicz objętość i pole całkowite sześcianu o krawędzi 4 cm.
7. Oblicz Pc i V ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 6cm.
8. Oblicz Pc czworościanu foremnego o krawędzi 10 cm.
9. Pc ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 96 cm², a krawędź podstawy to 6 cm. Oblicz objętość.
10. Podstawą graniastosłupa jest romb o przekątnych 8 cm i 6 cm oraz wysokości 10√3. Oblicz objętość.

1. \(\displaystyle{ V=Pp\cdot h\div 3}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}=25\pi}\)
\(\displaystyle{ 5^{2}+x^{2}=13^{2}}\)
\(\displaystyle{ 25+x^{2}=169}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=12}\)
\(\displaystyle{ V=25\cdot 12\div 3=100 cm^{3}}\)
\(\displaystyle{ Pc=\pi\cdot r\cdot l=\pi\cdot 5\cdot 13=65\pi}\)

2. \(\displaystyle{ V=Pp\cdot h}\)
\(\displaystyle{ Pp=3^{2}=9 cm^{2}\pi}\)
\(\displaystyle{ V=9\cdot 10=90 cm^{3}\pi}\)
\(\displaystyle{ Pb=2\pi r\cdot h=2\pi\cdot 3\cdot 10=60cm}\)
\(\displaystyle{ Pc=2\cdot 9 + 60=78 cm^{2}}\)

3. Tego nie wiem jak zrobić

4. Tego też nie potrafię

5. \(\displaystyle{ Kat=60⁰}\) (nie znalazłem jak tutaj zrobić znak kątu :/)
\(\displaystyle{ Pp=16\pi cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ \pi r^{2}=16\pi /\div \pi}\)
\(\displaystyle{ r^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ r=4 cm}\)
\(\displaystyle{ l=2a}\)
\(\displaystyle{ h=a\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ h=4\sqrt{3} cm}\)

6. \(\displaystyle{ P=6a^{2}}\)
\(\displaystyle{ a=4}\)
\(\displaystyle{ P=6\cdot 4^{2}=96 cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ V=a^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64 cm^{3}}\)

7. Nie wiem

8. \(\displaystyle{ Pc=\frac {4a^{2}\sqrt{3}} {2}}\)
\(\displaystyle{ a=10=4\cdot 10^{2}\sqrt{3}\div 4=100\sqrt{3}}\)

9. \(\displaystyle{ a=6}\)
\(\displaystyle{ h=a\sqrt{3}\div 2}\)
\(\displaystyle{ h=6\sqrt{3}\div 2}\)
\(\displaystyle{ h=3\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ V=Pp\cdot h\div 3}\)
\(\displaystyle{ V=36\cdot 3\sqrt{3}\div 3=36\sqrt{3}}\)

10. Tego niestety też nie potrafię.

Proszę o pomoc,
albatros

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: Afish » 12 cze 2010, o 16:16

3. Czym jest koło wielkie kuli?
4. Narysuj przekrój stożka, zaznacz kąt i tworzącą. Zauważ, że tworząca, wysokość i połowa podstawy tworzy trójkąt prostokątny.
7. Oblicz przekątną podstawy, następnie oblicz wysokość ściany bocznej i z tego policz Pc.
10. Jak policzyć pole podstawy mają przekątne?

albatros_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 cze 2010, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: albatros_ » 12 cze 2010, o 18:35

Thx
A reszta jest dobrze?

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: Afish » 12 cze 2010, o 19:22

1. Pc jest źle obliczone (zapomniałeś o podstawie). Poza tym literówka przy obliczaniu \(\displaystyle{ r}\)
2. Gdzie pogubiłeś \(\displaystyle{ \pi}\) ?
5. Ok
6. Ok
8. Literówka we wzorze, ale wynik jest dobry.
9. Źle. Jak wyliczyć wysokość ściany bocznej? Jak potem obliczyć wysokość bryły?

albatros_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 cze 2010, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: albatros_ » 12 cze 2010, o 20:45

1. \(\displaystyle{ r=\frac {1} {2}\cdot 10=5}\)
\(\displaystyle{ V=Pp\cdot h\div 3}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi 5^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=25\pi}\)
\(\displaystyle{ 5^{2}+x^{2}=13^{2}}\)
\(\displaystyle{ 25+x^{2}=169}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=12}\)
\(\displaystyle{ V=25\cdot 12\div 3}\)
\(\displaystyle{ V=100 cm^{3}}\)
\(\displaystyle{ Pc=\pi r^{2}+\pi rl}\)
\(\displaystyle{ Pc=\pi \cdot 5^{2}+\pi\cdot 5\cdot 13\pi}\)
\(\displaystyle{ Pc=25\pi + 65\pi}\)
\(\displaystyle{ Pc=90\pi}\) ?

2. \(\displaystyle{ V=Pp\cdot h}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi \cdot 3^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=9\pi cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ V=9\pi \cdot 10}\)
\(\displaystyle{ V=90\pi cm^{3}}\)
\(\displaystyle{ Pc=2\pi r^{2} + 2\pi r\cdot h}\)
\(\displaystyle{ Pc=2\pi 3^{2} + 2\pi 3\cdot 10}\)
\(\displaystyle{ Pc=18\pi + 60\pi}\)
\(\displaystyle{ Pc=78\pi cm^{2}}\)

Czy mógłby mi ktoś poprawić pozostałe zadania? Trochę się już pogubiłem
Może już jestem za bardzo zmęczony, może rano mi się uda :/
Nigdy nie byłem dobry z matmy

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: Afish » 12 cze 2010, o 21:31

9. \(\displaystyle{ P _{c} = 6*6 + 4*\frac{1}{2} * h * 6}\) gdzie \(\displaystyle{ h}\) oznacza wysokość ściany bocznej.
Z tego wynika, że ściana boczna ma wysokość równą \(\displaystyle{ 5}\). Teraz korzystają z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość bryły (przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej, jedną przyprostokątną jest wysokość bryły a drugą połowa boku kwadratu). Obliczenie objętości jest już banalne.

albatros_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 cze 2010, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: albatros_ » 13 cze 2010, o 11:08

1. \(\displaystyle{ r=\frac {1} {2}\cdot 10=5}\)
\(\displaystyle{ V=Pp\cdot h\div 3}\)

\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi 5^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=25\pi}\)
\(\displaystyle{ 5^{2}+x^{2}=13^{2}}\)
\(\displaystyle{ 25+x^{2}=169}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=12}\)

\(\displaystyle{ V=25\cdot 12\div 3}\)
\(\displaystyle{ V=100 cm^{3}}\)

\(\displaystyle{ Pc=\pi r^{2}+\pi rl}\)
\(\displaystyle{ Pc=\pi \cdot 5^{2}+\pi\cdot 5\cdot 13\pi}\)
\(\displaystyle{ Pc=25\pi + 65\pi}\)
\(\displaystyle{ Pc=90\pi}\) ?

2. \(\displaystyle{ V=Pp\cdot h}\)

\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi \cdot 3^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=9\pi cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=9\pi \cdot 10}\)
\(\displaystyle{ V=90\pi cm^{3}}\)

\(\displaystyle{ Pc=2\pi r^{2} + 2\pi r\cdot h}\)
\(\displaystyle{ Pc=2\pi 3^{2} + 2\pi 3\cdot 10}\)
\(\displaystyle{ Pc=18\pi + 60\pi}\)
\(\displaystyle{ Pc=78\pi cm^{2}}\)

3. No właśnie, co to jest?

4. \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}6\sqrt{2}}\) ?

5. \(\displaystyle{ Kat=60⁰}\)
\(\displaystyle{ Pp=16\pi cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ \pi r^{2}=16\pi /\div \pi}\)
\(\displaystyle{ r^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ r=4 cm}\)
\(\displaystyle{ h=a\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ h=4\sqrt{3} cm}\)

6. \(\displaystyle{ P=6a^{2}}\)
\(\displaystyle{ a=4}\)
\(\displaystyle{ Pp=6\cdot 4^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=6\cdot 16}\)
\(\displaystyle{ Pp=96 cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=a^{3}}\)
\(\displaystyle{ V=4\cdot 4\cdot 4}\)
\(\displaystyle{ V==64 cm^{3}}\)

7. ;/

8. \(\displaystyle{ Pc=\frac {4a^{2}\sqrt{3}} {2}}\)
\(\displaystyle{ a=10}\)

\(\displaystyle{ Pc=\frac {4\cdot 10^{2}\sqrt{3}} {2}/\div 4}\)
\(\displaystyle{ Pc=100\sqrt{3}}\)

9. \(\displaystyle{ P _{c}=6\cdot 6+ 4\cdot \frac{1}{2}\cdot h\cdot 6}\)
\(\displaystyle{ h=5}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+a^{2}=h^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+6^{2}=5^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+36=25}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=25-36}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=-11}\)?

10. \(\displaystyle{ H=10\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\frac {d_{1}\cdot d_{2}} {2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\frac {6\cdot 8} {2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=24 cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=Pp\cdot H}\)
\(\displaystyle{ V=24\cdot 10\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ V=240\sqrt{3}}\) ?

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: Afish » 13 cze 2010, o 11:43

1. Ok
2. Ok
3. "Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w jej środku" (wiki)
4. Źle. Sprawdź dokładnie wzór (dla pewności wyprowadź jednostkę i sprawdź, czy na logikę wszystko jest ok).
5, 6 nie sprawdziłem (wcześnie było ok).
7. Z objętością nie ma problemu. Wysokość ściany bocznej policz podobnie, jak w zadaniu 9.
8. Jaki jest wzór na pole trójkąta równobocznego? (Wiem, czepiam się, ale w matematyce zapis musi być poprawny)
9. \(\displaystyle{ H^{2}+a^{2}=h^{2}}\) tu jest błąd. Narysuj to sobie i bez problemu zauważysz pomyłkę.
10. Ok.

albatros_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 cze 2010, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: albatros_ » 13 cze 2010, o 16:24

3. Pole koła wielkiego kuli jest równe 6,25π. Oblicz średnicę kuli.
4. Tworząca stożka ma 6√2 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość stożka.
7. Oblicz Pc i V ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 6cm.
8. Oblicz Pc czworościanu foremnego o krawędzi 10 cm.
9. Pc ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 96 cm², a krawędź podstawy to 6 cm. Oblicz objętość.
10. Podstawą graniastosłupa jest romb o przekątnych 8 cm i 6 cm oraz wysokości 10√3. Oblicz objętość.

3. \(\displaystyle{ P=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ P=6,25\pi}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt{6,25}}\)
\(\displaystyle{ r=2,5}\)
\(\displaystyle{ d=2r}\)
\(\displaystyle{ d=5}\)

4. \(\displaystyle{ H=r}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+r^{2}=(6\sqrt{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+H^{2}=(6\sqrt{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2H^{2}=72}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=36}\)
\(\displaystyle{ H=6 cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}Pp\cdot H}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi 6^{2}}\)
\(\displaystyle{ P=36\pi cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}36\pi\cdot 6}\)
\(\displaystyle{ V=72 cm^{3}}\)

7. \(\displaystyle{ Pc=Pp+Pb}\)
\(\displaystyle{ Pp=a^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=4^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=16 cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pb=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ Pb=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ Pb=\frac{16\sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ Pb=4\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ Pc=16+4\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ Pc=20\sqrt{3} cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}Pp \cdot H}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}16 \cdot 6}\)
\(\displaystyle{ V=32 cm^{3}}\)

8. \(\displaystyle{ Pc=a^{2}\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a=10}\)
\(\displaystyle{ Pc=10^{2}\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ Pc=100\sqrt{3}}\)

9. \(\displaystyle{ P _{c}=6\cdot 6+ 4\cdot \frac{1}{2}\cdot h\cdot 6}\)
\(\displaystyle{ h=5}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+(\frac{1}{2} a^{2}=h^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+(\frac{1}{2}6^{2}=5^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+(\frac{1}{2}36=25}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=25-18}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=7}\)
\(\displaystyle{ H=\sqrt{7}}\)

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: Afish » 13 cze 2010, o 16:29

3. Ok
4. Ok
7. Źle. Ściana boczna nie jest trójkątem równobocznym.
8. Ok
9. Źle. Podniosłeś do kwadratu jedynie \(\displaystyle{ a}\), zapomniałeś o spotęgowaniu. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

albatros_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 cze 2010, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: albatros_ » 13 cze 2010, o 17:01

7. \(\displaystyle{ Pc=Pp+Pb}\)
\(\displaystyle{ Pp=a^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=4^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=16 cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pb=4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot H}\)
\(\displaystyle{ Pb=4 \cdot \frac{1}{2}4 \cdot 6}\)
\(\displaystyle{ Pb=48 cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pc=16+48}\)
\(\displaystyle{ Pc=64 cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}Pp \cdot H}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}16 \cdot 6}\)
\(\displaystyle{ V=32 cm^{3}}\)

9. \(\displaystyle{ P _{c}=6\cdot 6+ 4\cdot \frac{1}{2}\cdot h\cdot 6}\)
\(\displaystyle{ h=5}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+(\frac{1}{2} a)^{2}=h^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+(\frac{1}{2}6)^{2}=5^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+0.25 \cdot 36=25}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=25-9}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ H=\sqrt{16}}\)
\(\displaystyle{ H=4 cm}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} Pp \cdot H}\)
\(\displaystyle{ Pp=a^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=6^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=36 cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ V=36 \cdot 4}\)
\(\displaystyle{ V=144 cm^{3}}\)

Teraz dobrze?

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: Afish » 13 cze 2010, o 18:42

7. Źle. \(\displaystyle{ H=6}\) jest wysokością bryły, a nie ściany bocznej.
9. Ok.

albatros_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 cze 2010, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: albatros_ » 13 cze 2010, o 18:56

Aaaa, racja

7. \(\displaystyle{ Pc=Pp+Pb}\)
\(\displaystyle{ Pp=a^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=4^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=16 cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ H^{2}+ (\frac{1}{2}a)^{2}=h^{2}}\)
\(\displaystyle{ 6^{2}+ (\frac{1}{2} 4)^{2}=h^{2}}\)
\(\displaystyle{ 36+4=h^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{2}=40}\)
\(\displaystyle{ h= \sqrt{40}}\)?

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: Afish » 13 cze 2010, o 19:08

Teraz jest ok

albatros_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 cze 2010, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Bryły obrotowe oraz graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Post autor: albatros_ » 13 cze 2010, o 19:35

Dzięki
A jak najlepiej robić \(\displaystyle{ \sqrt{40}}\) by obliczyć Pb?

To uporządkuję to trochę

1. Tworząca stożka ma 13 cm, a średnica podstawy 10 cm. Oblicz Pc i V stożka.
2. Promień podstawy walca ma 3 cm, wysokość 10cm. Oblicz Pc i V walca.
3. Pole koła wielkiego kuli jest równe 6,25π. Oblicz średnicę kuli.
4. Tworząca stożka ma 6√2 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość stożka.
5. Kąt rozwarcia stożka to 60°, Pp=16π cm². Oblicz wysokość stożka.

6. Oblicz objętość i pole całkowite sześcianu o krawędzi 4 cm.
7. Oblicz Pc i V ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 6cm.
8. Oblicz Pc czworościanu foremnego o krawędzi 10 cm.
9. Pc ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 96 cm², a krawędź podstawy to 6 cm. Oblicz objętość.
10. Podstawą graniastosłupa jest romb o przekątnych 8 cm i 6 cm oraz wysokości 10√3. Oblicz objętość.

1. \(\displaystyle{ r=\frac {1} {2}\cdot 10=5}\)
\(\displaystyle{ V=Pp\cdot h\div 3}\)

\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi 5^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=25\pi}\)
\(\displaystyle{ 5^{2}+x^{2}=13^{2}}\)
\(\displaystyle{ 25+x^{2}=169}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=12}\)

\(\displaystyle{ V=25\cdot 12\div 3}\)
\(\displaystyle{ V=100 cm^{3}}\)

\(\displaystyle{ Pc=\pi r^{2}+\pi rl}\)
\(\displaystyle{ Pc=\pi \cdot 5^{2}+\pi\cdot 5\cdot 13\pi}\)
\(\displaystyle{ Pc=25\pi + 65\pi}\)
\(\displaystyle{ Pc=90\pi}\) ?

2. \(\displaystyle{ V=Pp\cdot h}\)

\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi \cdot 3^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=9\pi cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=9\pi \cdot 10}\)
\(\displaystyle{ V=90\pi cm^{3}}\)

\(\displaystyle{ Pc=2\pi r^{2} + 2\pi r\cdot h}\)
\(\displaystyle{ Pc=2\pi 3^{2} + 2\pi 3\cdot 10}\)
\(\displaystyle{ Pc=18\pi + 60\pi}\)
\(\displaystyle{ Pc=78\pi cm^{2}}\)

3. \(\displaystyle{ P=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ P=6,25\pi}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt{6,25}}\)
\(\displaystyle{ r=2,5}\)
\(\displaystyle{ d=2r}\)
\(\displaystyle{ d=5}\)

4. \(\displaystyle{ H=r}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+r^{2}=(6\sqrt{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+H^{2}=(6\sqrt{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2H^{2}=72}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=36}\)
\(\displaystyle{ H=6 cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}Pp\cdot H}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi 6^{2}}\)
\(\displaystyle{ P=36\pi cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}36\pi\cdot 6}\)
\(\displaystyle{ V=72 cm^{3}}\)

5. \(\displaystyle{ Kat=60⁰}\)
\(\displaystyle{ Pp=16\pi cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ \pi r^{2}=16\pi /\div \pi}\)
\(\displaystyle{ r^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ r=4 cm}\)
\(\displaystyle{ h=a\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ h=4\sqrt{3} cm}\)

6. \(\displaystyle{ P=6a^{2}}\)
\(\displaystyle{ a=4}\)
\(\displaystyle{ Pp=6\cdot 4^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=6\cdot 16}\)
\(\displaystyle{ Pp=96 cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=a^{3}}\)
\(\displaystyle{ V=4\cdot 4\cdot 4}\)
\(\displaystyle{ V==64 cm^{3}}\)

8. \(\displaystyle{ Pc=a^{2}\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a=10}\)
\(\displaystyle{ Pc=10^{2}\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ Pc=100\sqrt{3}}\)

9. \(\displaystyle{ P _{c}=6\cdot 6+ 4\cdot \frac{1}{2}\cdot h\cdot 6}\)
\(\displaystyle{ h=5}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+(\frac{1}{2} a)^{2}=h^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+(\frac{1}{2}6)^{2}=5^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}+0.25 \cdot 36=25}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=25-9}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ H=\sqrt{16}}\)
\(\displaystyle{ H=4 cm}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} Pp \cdot H}\)
\(\displaystyle{ Pp=a^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=6^{2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=36 cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ V=36 \cdot 4}\)
\(\displaystyle{ V=144 cm^{3}}\)

10. \(\displaystyle{ H=10\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\frac {d_{1}\cdot d_{2}} {2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=\frac {6\cdot 8} {2}}\)
\(\displaystyle{ Pp=24 cm^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=Pp\cdot H}\)
\(\displaystyle{ V=24\cdot 10\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ V=240\sqrt{3}}\)

ODPOWIEDZ