wartość własna - dowód

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
QAZ123*
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 31 maja 2010, o 14:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

wartość własna - dowód

Post autor: QAZ123* » 12 cze 2010, o 13:49

Jak to udowodnić?

Dane są macierze kwadratowe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) o wymiarach \(\displaystyle{ 7}\)x\(\displaystyle{ 7}\), że liczba \(\displaystyle{ 7}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ AB}\) odpowiadającą wektorowi własnemu \(\displaystyle{ v}\).
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ 7}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ BA}\).

Awatar użytkownika
Yaco_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 992
Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy/Kraków
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 204 razy

wartość własna - dowód

Post autor: Yaco_89 » 14 cze 2010, o 15:09

\(\displaystyle{ ABv=7v\\
BAB(v)=B(AB(v))=B(7V)=7Bv}\)

czyli wektor \(\displaystyle{ Bv}\) jest wektorem własnym macierzyBA odpowiadającym wartości własnej 7; wszystko to oczywiście przy założeniu że Bv jest różne od 0, ale gdyby tak było to \(\displaystyle{ ABv=A(Bv)=0=7 \cdot v}\) czyli v musiałoby być wektorem zerowym.
wymiar macierzy tak naprawdę nie ma znaczenia, bo można pokazać że dowolne macierze AB i BA mają zawsze te same wartości własne, jeśli tylko mnożenie AB i BA jest wykonalne.

ODPOWIEDZ