Magiczna granica

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
MistyKu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 20 mar 2009, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 60 razy

Magiczna granica

Post autor: MistyKu » 12 cze 2010, o 13:46

Nie mam pojecia jak zrobic ta granice.. podobno z de l'Hopitala nie mozna skorzystac gdyz jest to ciag:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } = n( \sqrt[n]{a} -1)}\) dla a>0

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Magiczna granica

Post autor: szw1710 » 12 cze 2010, o 16:51

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{a}-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{a}-1}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a^{\frac{1}{n}}-a^0}{\frac{1}{n}-0}}\)

Ale \(\displaystyle{ f'(y)=\lim_{x\to y}\frac{f(x)-f(y)}{x-y},}\) więc z definicji granicy funkcji wg Heinego mamy w szczególności dla \(\displaystyle{ y=0}\), \(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{n}}\), że

\(\displaystyle{ f'(0)=\lim_{n\to\infty}\frac{f \left(\frac{1}{n}\right)-f(0)}{\frac{1}{n}-0}.}\)

Zatem szukana granica to wartość pochodnej w zerze funkcji \(\displaystyle{ f(x)=a^x}\). Stąd

\(\displaystyle{ f'(x)=a^x\ln a,\quad f'(0)=\ln a}\), więc wartość szukanej granicy to \(\displaystyle{ \ln a.}\)

ODPOWIEDZ