Matematyka.pl

Myślę, że podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) mogłoby podziałać. Później żonglerka, rozkłady na ułamki proste, arkus tangensy/logarytmy naturalne i tak na oko coś tam wyjdzie.



Pozdrawiam.

jacek_ns pisze:\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^{2}}}\)

Ja proponuję przez części

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^{2}} \mbox{d}x = \begin{vmatrix} u= \sqrt{x}& \mbox{d}v= \frac{1}{ \left(x+1 \right)^2 } \mbox{d}x \\ \mbox{d}u= \frac{1}{2 \sqrt{x} } \mbox{d}x &v=- \frac{1}{x+1} \end{vmatrix}=- \frac{ \sqrt{x} }{x+1}+\int{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot \frac{1}{x+1} \mbox{d}x }}\)

Tę drugą całkę można podstawieniem
(można też zauważyć że funkcja podcałkowa to pochodna arcus tangensa )

\(\displaystyle{ =- \frac{ \sqrt{x} }{x+1}+\arctan{ \sqrt{x} }+C}\)

(To nie jest całka wymierna ale może zostać do niej sprowadzona podstawieniem
o którym wspominał miki999 )

tylko po podstawieniu mikkiego całka przybiera postać \(\displaystyle{ \int \frac{2u^2du}{(1+u^2)^2}}\) ułamkami prostymi jakiś kosmos wyjdzie

Nie sprawdzam czy tak powinno wyjść, ale tego się na ułamki proste nie rozkłada.

\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \mbox{d}x = \int x \frac{x}{(1+x^2)^2} \mbox{d}x}\) i przez części, gdzie \(\displaystyle{ u = x \text{ a } v' = \frac{x}{(x^2+1)^2}}\). Do wyznaczenia \(\displaystyle{ v}\) całkujemy przez podstawienie \(\displaystyle{ t = x^2+1}\).

Nie sprawdzam czy tak powinno wyjść,

Też nie sprawdzam, ale chodziło mi o rozkład:
\(\displaystyle{ \frac{A}{(1+u^2)^2}+ \frac{B}{1+u^2}}\)
No i tamtą dwójkę można przed całkę wywalić, aby nie przeszkadzała, ale to, Jacku, wiesz.

Btw. kiedyś już tego typu przykłady rozwiązywałem i z takiej postaci bardzo ładnie się rozbijało Teraz mi się nie chce sprawdzać czy rzeczywiście tak jest, więc istnieje możliwość, że piszę głupoty.



Pozdrawiam.

Koledzy przecież macie wynik
Najlepiej od razu przez części
Dopiero później można podstawić ale jeśli ktoś ma wprawę to
po scałkowaniu przez części już nie musi podstawiać

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^{2}} \mbox{d}x = \begin{vmatrix} u= \sqrt{x}& \mbox{d}v= \frac{1}{ \left(x+1 \right)^2 } \mbox{d}x \\ \mbox{d}u= \frac{1}{2 \sqrt{x} } \mbox{d}x &v=- \frac{1}{x+1} \end{vmatrix}=- \frac{ \sqrt{x} }{x+1}+\int{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot \frac{1}{x+1} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =- \frac{ \sqrt{x} }{x+1}+\arctan{ \sqrt{x} }+C}\)