[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 50 razy

[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

Post autor: Arst » 11 cze 2010, o 21:23

...nie mam pojęcia jak jej dowieść:
\(\displaystyle{ \forall \ a,b \in \mathbb{R}_+ \\
a^ab^b \ge \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b}}\)

interesują mnie tylko wskazówki/a jak skutecznie się za nią zabrać. Z góry dzięki.

Pozdrawiam

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

Post autor: ordyh » 11 cze 2010, o 22:04

Mi na razie się Jensen rzuca w oczy, rozwiązanie elementarne może być ciut trudniejsze.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

Post autor: Dumel » 11 cze 2010, o 23:31

hint 1:    
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

Post autor: Piotr Rutkowski » 11 cze 2010, o 23:46

Nierówność jest prosta, ale okazuje się, że jednak dość mocna, bo prawdziwa jest również nierówność:
\(\displaystyle{ (\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b})^{a+b}\geq a^ab^b \ge \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b}}\)

Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 50 razy

[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

Post autor: Arst » 12 cze 2010, o 08:35

No dobra w takim razie spróbuje nierówności Jensena (pierwszy raz w praktyce, więc bądźcie wyrozumiali ):
\(\displaystyle{ a^ab^b \ge (\frac{a+b}{2})^{a+b} \\
a \ln a+b \ln b \ge (a+b)\ln \frac{a+b}{2}}\)

\(\displaystyle{ f(a)+f(b) \ge 2f(\frac{a+b}{2})}\)
...i tu utknąłem w martwym punkcie :S Nie wiem co dalej mam z tym zrobić.

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

Post autor: klaustrofob » 12 cze 2010, o 09:21

\(\displaystyle{ f(a)+f(b)\ge 2f(\frac{a+b}{2})}\)
i dalej \(\displaystyle{ \frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)\ge f(\frac{a+b}{2})}\) co na mocy tego, że ln jest wypukły w górę (wklęsły) jest prawdą. właściwie to lepiej byłoby zacząć od końca i dojść to wyjściowej nierówności
Ostatnio zmieniony 12 cze 2010, o 17:43 przez klaustrofob, łącznie zmieniany 2 razy.

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

Post autor: ordyh » 12 cze 2010, o 12:45

Tak, najłatwiej najpierw zlogarytmować tezę i przekształcić tak:
\(\displaystyle{ a\ln a + b\ln b \geq (a+b)\ln(\frac{a+b}{2})}\)
Zobaczyć jaka funkcja mogłaby nam się przydać, przy czym suma funkcji jest większa, więc szukamy funkcji wypukłej, \(\displaystyle{ \ln x}\) jest wklęsła, ale \(\displaystyle{ x \ln x}\) jest już wypukła, ponieważ jej druga pochodna \(\displaystyle{ f''(x) = 1/x}\) jest dodatnia w \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\).
Zatem wobec nierówności Jensena (wagi po \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\))
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)\geq f(\frac{1}{2}\cdot a + \frac{1}{2}\cdot b)}\)
\(\displaystyle{ f(a)+f(b)\geq 2f(\frac{a+b}{2})}\)
a to jest...?

kammeleon18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 36 razy

[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

Post autor: kammeleon18 » 3 sty 2011, o 20:48

Tutaj akurat(wydaje mi sie) chodzi o zastosowania nierówności między średnią harmoniczną i geometryczną ważoną,to co proponują poprzednicy to jest dowodzenie własnie tej nierówności w tym konkretnym przykładzie,więc oczywiście też jest poprawnie.

ODPOWIEDZ