Matematyka.pl

4. Pilot samolotu chce osiągnąć punkt leżący 200 km na wschód od obecnego położenia. Wiatr wieje z północy, z szybkością 30 km/h. Obliczyć wektor prędkości samolotu względem masy powietrza, jeżeli wg. rozkładu samolot miał dolecieć do celu po 40 min.


5. Dwie cząstki 1 i 2 poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami V1 = 2i [cm/s] oraz V2 = 3j [cm/s]. W chwili t = 0 są one w punktach o współrzędnych: x = -3 cm; y = 0; x = 0; y = -3 cm.
Znaleźć wektor r2 (t) – r1 (t), który określi położenie cząstki 2 względem 1 w funkcji czasu,
Kiedy i gdzie obie te cząstki będą najbliżej siebie ?


6. Stałe siły F1 = i + 2j + 3k oraz F2 = 4i – 5j – 2k (gdzie i, j, k są wersorami układu) działają równocześnie na cząstkę przesuwając ją z punktu A (20, 15, 0) do B (0, 0, 7).
a. Obliczyć pracę wykonaną przy przesunięciu cząstki,
b. Zakładając działanie tych samych sił, obliczyć pracę przy przesunięciu od punktu B do A.
c. Obliczyć moment siły wypadkowej działającej na cząstkę względem początku układu,gdy znajduje się ona w punkcie A.


7. Ciało o masie m = 2 kg porusza się wzdłuż prostej z prędkością V zależną od czasu w następujący sposób: V(t) = 2t + 1 Znaleźć:
a. przyspieszenie tego ciała,
b. siłę wypadkową działającą na ciało,
c. pracę jaką wykonała ta siła w ciągu trzech pierwszych sekund ruchu.
d. średnią prędkość ciała w ciągu pierwszych 5 sekund ruchu.

Ad 4. Tutaj składanie wektorów. Zauważ, że wypadkowy wektor prędkości musi być skierowany na wschód, podczas gdy wektor prędkości wiatru jest zwrócony na południe. To dowodzi, iż wektor prędkości samolotu względem masy powietrza skierowany winien być w stronę północno-wschodnią.

Ad 5. Hm, tutaj nie powinieneś mieć żadnych problemów - zauważ tylko, że wektor położenia, będący całką nieoznaczoną wektora prędkości po czasie skierowany będzie przeciwnie do wektora prędkości i ten przeciwny zwrot musisz uwzględnić w obliczaniach.

Porównaj: https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=19795

Ad 6. Z definicji:

\(\displaystyle{ \large W=\int \vec{F}\circ d\vec{r}\equiv (\vec{F}_1 +\vec{F}_2)\circ \vec{r}}\)

Pozostaje ustalić współrzędne wektora przemieszczenia i skorzystać z faktu, że

\(\displaystyle{ \large \vec{a}{\circ \vec{b}=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i}\)

Podpunkt b chyba bez problemu teraz - wektor przesuniecia zorientowany jest przeciwnie. Podpunkt c rozwiążesz, wiedząc, że \(\displaystyle{ \normal \vec{M}_A=\vec{r}_A (\vec{F}_1 +\vec{F}_2)}\), gdzie iloczyn wektorowy utożsamiamy z wyznacznikiem macierzy 3 na 3.

Ad 7 Wszelkie opowiedzi uzyskasz, wiedząc, że:

\(\displaystyle{ \large \vec{a}=\frac{d\vec{v}(t)}{dt} \\ \vec{F}=m\vec{a}=m\frac{d\vec{v}(t)}{dt} \\ W=\int \vec{F}d\vec{r} \\ \overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}}\)

dziekuje pieknie