Pewien pierścień z jednoznacznością rozkładu

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Pewien pierścień z jednoznacznością rozkładu

Post autor: max » 11 cze 2010, o 20:23

Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie ciałem charakterystyki różnej od \(\displaystyle{ 2}\).
Rozważmy pierścień \(\displaystyle{ A = k[X,Y]/(X^{2} + Y^{2} - 1)}\). Udowodnij, że następujące warunki są równoważne:

(i) \(\displaystyle{ A}\) jest dziedziną ideałów głównych
(ii) \(\displaystyle{ A}\) jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu
(iii) istnieje \(\displaystyle{ \alpha\in k}\) takie, że \(\displaystyle{ \alpha^{2} = -1}\).

(W szczególności pierścień \(\displaystyle{ \mathbb{C}[\sin t, \cos t]}\) zespolonych wielomianów trygonometrycznych jest dziedziną ideałów głównych, a pierścień \(\displaystyle{ \mathbb{R}[\sin t, \cos t]}\) wielomianów trygonometrycznych rzeczywistych nie jest faktorialny).

ODPOWIEDZ