Specyficzne granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 50 razy

Specyficzne granice

Post autor: Arst » 11 cze 2010, o 17:45

Witam, bardzo jestem ciekaw w jaki elementarny sposób (tzn. bez użycia rachunku różniczkowego) można wyprowadzić następujące granice funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1 \\
\lim_{x \to 0} \left( 1+x \right)^{\frac{1}{x}} = e \\
\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} = lna, \ a>0 \\
\lim_{x \to 0} \frac{log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{lna}, \ a>0, \ a \neq 1 \\
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}=a}\)

Interesują mnie tu wszelkiej maści trickowe podstawienia, przekształcenia - wszystko byle bez pochodnych.

Mile widziane linki (po angielsku też mogą być)

Pozdrawiam

miodzio1988

Specyficzne granice

Post autor: miodzio1988 » 11 cze 2010, o 17:51

Wszystko na ważniaku znajdziesz albo u nas na forum. (nawet na wiki jest kilka dowodów przy okazji wyprowadzania wzorów na pochodne niektórych funkcji)

Np pierwsze:
post714594.htm

Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 50 razy

Specyficzne granice

Post autor: Arst » 11 cze 2010, o 18:07

Ja właśnie z ważniaka je wziąłem i jest tam notka:
Kolejne twierdzenie podaje granice pewnych funkcji. Zazwyczaj mamy tu do czynienia z symbolami nieoznaczonymi (...). Elementarne dowody tego twierdzenia można znaleźć w podręcznikach z analizy matematycznej (do których dostępu niestety nie mam). Pominiemy je w tym miejscu (...).
I kiszka :/ Dziwne, że napisali i takie twierdzenie, w którym zebrano kupę ważnych wzorków i nie dali dowodu :X

Co do tego pierwszego dowód oczywiście znam tylko przy przeklejaniu tutaj zapomniałem go wyrzucić z listy ;P

Pogrzebie jeszcze w postach tutaj, może na coś trafię.

miodzio1988

Specyficzne granice

Post autor: miodzio1988 » 11 cze 2010, o 18:09


Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 50 razy

Specyficzne granice

Post autor: Arst » 11 cze 2010, o 18:16

Szacun , żeby zacząć od logarytmu naturalnego...na to bym chyba nie wpadł -- 12 czerwca 2010, 17:19 --Niestety nie znalazłem nic dla ostatniej wymienionej przeze mnie granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}=a}\)
Więc zmuszony byłem samemu coś wymyślić:
Zakładam, że \(\displaystyle{ a \in N_+}\) bo dla \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistego ten sposób nie działa :/
Podstawiając \(\displaystyle{ 1+x=t, \ x=t-1}\)
Prawdziwa jest (?) implikacja: \(\displaystyle{ (x \rightarrow 0) \Rightarrow (t \rightarrow 1)}\)
zatem przepisuję moją granicę w taki sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 1} \frac{t^a-1}{t-1}=\lim_{t \to 1} \sum_{i=0}^{a-1}t^i=a}\)
Niby się zgadza, ale w założeniach mam \(\displaystyle{ a}\) rzeczywiste i niestety nie idzie nic z tym zrobić :/

btw. z podobnym zjawiskiem spotkałem się przy wyprowadzeniu (z definicji) pochodnej funkcji postaci \(\displaystyle{ x^a}\), gdzie zakłada się, że \(\displaystyle{ a}\) jest naturalne i dowód, że pochodna to \(\displaystyle{ ax^{a-1}}\) jest trywialny. Natomiast nie rozumiem dlaczego nigdzie nie mogę znaleźć dowodu dla wykładnika rzeczywistego Przykład na wiki: http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna jest dla \(\displaystyle{ n \in N_+}\) natomiast tabela niżej podaje, że wzór jest poprawny dla \(\displaystyle{ n \in R \backslash \{1\}}\). No to ja pytam: skoro tak sobie uogólniamy to gdzie jest dowód, że takie coś jest poprawne?

ODPOWIEDZ