Matematyka.pl

Witam, mam problem z taką granicą:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n^{2}]{\frac{2^{n}+\sqrt{n}}{ln(n+2)}}}\)

Czuje, że będzie to 1, ale potrzebuje jakiegoś uzasadnienia

Nietrudno zauważyć, że dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \sqrt[n^2]{\frac12}\cdot \sqrt[n^2]{\frac{2^n}{\ln(n)}}\leq \sqrt[n^2]{\frac{2^n+\sqrt{n}}{\ln(n+2)}}\leq \sqrt[n^2]{2}\cdot \sqrt[n^2]{\frac{2^n}{\ln(n)}}.}\)
Udowodnimy, że
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac12}\cdot \sqrt[n^2]{\frac{2^n}{\ln(n)}}=1}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{2}\cdot \sqrt[n^2]{\frac{2^n}{\ln(n)}}=1.}\)
Z twierdzenia o trzech ciągach będzie to oczywiście wystarczające dla
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac{2^n+\sqrt{n}}{\ln(n+2)}}=1.}\)
Oczywiście
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac12}= \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{2}=1,}\)
więc wystarczy dowieść, że
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac{2^n}{\ln(n)}}=1.}\)
Jednak
\(\displaystyle{ \sqrt[n^2]{\frac{2^n}{2^{n-1}}}\leq \sqrt[n^2]{\frac{2^n}{\ln(n)}}\leq \sqrt[n^2]{2^n}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{2}= \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{2^n}=1,}\)
więc z twierdzenia o trzech ciągach
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac{2^n}{\ln(n)}}=1,}\)
co kończy dowód.