Problem z całką

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Gandi_Khan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 kwie 2010, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pszczyna/Wrocław

Problem z całką

Post autor: Gandi_Khan » 11 cze 2010, o 14:34

\(\displaystyle{ \int_{}^{}cos^2t*t}\)


\(\displaystyle{ \int_{}^{} -sin^2t*t}\)

Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

Problem z całką

Post autor: Zordon » 11 cze 2010, o 15:03

I jakie jest polecenie? Jeśli chodzi o obliczenie tych całek to całkujemy przez części aby otrzymać całkę z wielomianu funkcji trygonometrycznych, dalej już pójdzie łatwo.

kolorowe skarpetki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdynia
Pomógł: 64 razy

Problem z całką

Post autor: kolorowe skarpetki » 11 cze 2010, o 15:08

Do rozwiązania pierwszej całki wykorzystamy wzór
\(\displaystyle{ \cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}}\)

\(\displaystyle{ \int t \cos^2 t \, dt=\int t \cdot \frac{1+\cos 2t}{2} \, dt=\frac{1}{2} \int t \, dt +\frac{1}{2} \int t \cos 2t \, dt \stackrel{(1)}{=}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^2+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t \sin 2t - \frac{1}{4} \int \sin 2t \, dt=\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{4}t\sin 2t+\frac{1}{8} \cos 2t +C}\)

(1) całkowanie przez części zastosowane do całki drugiej : \(\displaystyle{ f(t)=t , g'(t)=\cos 2t}\) .

Do drugiej całki możesz również zastosować wzór :
\(\displaystyle{ \sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}}\) .

Gandi_Khan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 kwie 2010, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pszczyna/Wrocław

Problem z całką

Post autor: Gandi_Khan » 11 cze 2010, o 15:32

wielkie dzięki. Mam jutro kolokwium z matematyki z calek zorientowanych itd... i szczerze słabo to widzę...

-- 11 cze 2010, o 16:01 --

\(\displaystyle{ ogólnie to polecenie było takie:

Obliczyc calki krzywoliniowe z podanych pol wektorowych po wskazanych
lukach:

F(x,y,z)=(yz, xz , xy), : x=cos t, y=sin t, z=t, gdzie t należy [0,2 \pi ]

zaczalem to robic tak:

\int_{0}^{2 \pi}sint*t*(-sint) + cost*t*cost + cost*sint*1= \int_{0}^{2 \pi } -sin^2t*t + cos^2t*t + sint cost = ?}\)

ODPOWIEDZ