Całka podwójna problem

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
jackoi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 5 paź 2007, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Całka podwójna problem

Post autor: jackoi » 9 cze 2010, o 12:40

Mam oto takie zadanie, obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ 4z ^{2} = 9xy}\)
\(\displaystyle{ x+y=4}\)
\(\displaystyle{ x+y=1}\)
\(\displaystyle{ y=0}\)
\(\displaystyle{ x=0}\)

po narysowaniu sobie tego wychodzą mi dwie całki podwójne gdzie jak dobrze odczytałem pierwsza jest:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}dx \int_{-x+1}^{-x+4} \frac{3}{2} \sqrt{xy} dy}\)
a druga:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{4}dx \int_{0}^{-x+4} \frac{3}{2} \sqrt{xy} dy}\)

teraz pytanie czy dobrze odczytałem obszary, oraz drugie pytanie jak obliczyć tą całkę bo później wychodzi mi taka trudna do obliczenia i nie wiem jak ją ruszyć mniej więcej coś takiego:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} 3 \sqrt{x} * \sqrt{-x+1}dx + \int_{0}^{1} 3 \sqrt{x} * \sqrt{-x+4}dx}\)

Proszę o pomoc

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Całka podwójna problem

Post autor: BettyBoo » 9 cze 2010, o 15:49

Gwoli ścisłości - szukana objętość to podwojona całka, którą zapisałeś (ponieważ i z góry i z dołu bryła jest ograniczona tą pierwszą podaną powierzchnią, a ona jest symetryczna względem \(\displaystyle{ XOY}\)), więc może od razu pisz \(\displaystyle{ 3}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\).

Pomijając stałą, całki masz zapisane dobrze, ale pojęcia nie mam, skąd Ci wyszło takie coś po obliczeniu. Przecież

\(\displaystyle{ \int \frac{3}{2}\sqrt{xy}dy=\sqrt{x}\int \frac{3}{2}y^\frac{1}{2} dy=\sqrt{x}\sqrt{y}y+c}\)

Oblicz jeszcze raz. Potem możesz np. wrzucić cały pierwiastek do mianownika i zastosować metodę współczynników nieoznaczonych. Możesz też zrobić podstawienie \(\displaystyle{ t=\sqrt{\frac{x}{4-x}}}\) (i w drugiej całce analogiczne), ale wtedy trzeba umieć obliczać całki z ułamków prostych 4 typu (wzór rekurencyjny) - dłuższa metoda raczej.

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ