Matematyka.pl

Udowodnij że jeżeli ciągi (a,b,c) i (a�,b�,c�) są arytmetyczne to a=b=c

Skoro ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny to wyrazy a,b,c spełniają własność, że \(\displaystyle{ a+c=2b}\). Drugi ciąg również jest arytemtyczny, więc jego wyrazy spełniają własność \(\displaystyle{ a^2 +c^2=2b^2}\).
Podnieśmy pierwsze równanie do kwadratu otrzymując \(\displaystyle{ a^2 +2ac+c^2=4b^2}\). Skoro \(\displaystyle{ 2b^2=a^2+c^2}\), to \(\displaystyle{ 4b^2=2a^2 +2c^2}\), więc \(\displaystyle{ a^2 +2ac+c^2=2a^2 +c^2}\). Odejmując stronami otrzymujemy, że \(\displaystyle{ -a^2 +2ac - c^2=0}\), czyli \(\displaystyle{ a^2 -2ac+c^2=0}\). Widzimy tutaj wzór skróconego mnożenia, otrzymując, że \(\displaystyle{ (a-c)^2=0}\). Czyli \(\displaystyle{ a-c=0}\), więc istotnie \(\displaystyle{ a=c}\). Podstawiając znów do pierwszego równania otrzymujemy \(\displaystyle{ a+a=2b}\), więc \(\displaystyle{ a=b}\). Ostatecznie \(\displaystyle{ a=b=c}\) cnd.

\(\displaystyle{ c-b=b-a\\ \\
c^{2}-b^{2}=b^{2}-a^{2}\\
(c-b)(c+b)=(b-a)(b+a)\\
(b-a)(c+b)=(b-a)(b+a)}\)
i jeżeli a=b, to z równości: \(\displaystyle{ c-b=b-a}\) wynika, że a=b=c
a jeżeli \(\displaystyle{ a\neq b}\) to:
c+b=b+a\
c=a
ale wtedy:
\(\displaystyle{ c^{2}-b^{2}=b^{2}-a^{2}\\
-b^{2}=b^{2}}\)
co jest sprzeczne, wobec czego a=b=c