Rozważmy algebrę:
: 7 cze 2010, o 21:46
Witam!
Mam takie zadanie i nie wiem czy dobrze robię, czy ktoś mógłby sprawdzić:
Rozważamy algebrę, której uniwersum jest zbiorem podzbiorów pewnego zbioru \(\displaystyle{ \matfrak{A}}\), z działaniami sumy i przekroju zbiorów, \(\displaystyle{ \left(P(\matfrak{A}), \cup, \cap)}\). Sprawdź, czy działania w tej algebrze są łączne, przemienne, czy mają elementy neutralne, które elementy mają elementy odwrotne, czy zachodzą prawa rozdzielności.
1. Sprawdzam czy działania w tej algebrze są łączne:
\(\displaystyle{ (A \vee B) \vee C = A \vee (B \vee C)}\)
\(\displaystyle{ x \in (A \vee B) \vee x \in C = x \in A \vee x\in(B \vee C)}\)
\(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \vee x \in C = x \in A \vee x \in B \vee x \in C}\)
Czyli \(\displaystyle{ \vee}\) jest w tej algebrze łączne.
Tak samo robimy z \(\displaystyle{ \wedge}\) i też jest łączne.
2. Działania są przemienne tego chyba nawet nie trzeba sprawdzać?
3. Czy mają element neutralny.
Tu nie wiem jak to sprawdzić, ale mogę napisać, że:
\(\displaystyle{ \forall x \in A : (x \vee \emptyset) = (\emptyset \vee x) = x}\)
\(\displaystyle{ \forall x \in A : (x \wedge A) = (A \wedge x) = x}\)
4. Które elementy mają element odwrotny.
\(\displaystyle{ \vee}\) - dla tego działania w tej algebrze nie ma elementów odwrotnych
\(\displaystyle{ \wedge}\) - -||-
5. Nie wiem jak sprawdzić rozdzielność.
Mam takie zadanie i nie wiem czy dobrze robię, czy ktoś mógłby sprawdzić:
Rozważamy algebrę, której uniwersum jest zbiorem podzbiorów pewnego zbioru \(\displaystyle{ \matfrak{A}}\), z działaniami sumy i przekroju zbiorów, \(\displaystyle{ \left(P(\matfrak{A}), \cup, \cap)}\). Sprawdź, czy działania w tej algebrze są łączne, przemienne, czy mają elementy neutralne, które elementy mają elementy odwrotne, czy zachodzą prawa rozdzielności.
1. Sprawdzam czy działania w tej algebrze są łączne:
\(\displaystyle{ (A \vee B) \vee C = A \vee (B \vee C)}\)
\(\displaystyle{ x \in (A \vee B) \vee x \in C = x \in A \vee x\in(B \vee C)}\)
\(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \vee x \in C = x \in A \vee x \in B \vee x \in C}\)
Czyli \(\displaystyle{ \vee}\) jest w tej algebrze łączne.
Tak samo robimy z \(\displaystyle{ \wedge}\) i też jest łączne.
2. Działania są przemienne tego chyba nawet nie trzeba sprawdzać?
3. Czy mają element neutralny.
Tu nie wiem jak to sprawdzić, ale mogę napisać, że:
\(\displaystyle{ \forall x \in A : (x \vee \emptyset) = (\emptyset \vee x) = x}\)
\(\displaystyle{ \forall x \in A : (x \wedge A) = (A \wedge x) = x}\)
4. Które elementy mają element odwrotny.
\(\displaystyle{ \vee}\) - dla tego działania w tej algebrze nie ma elementów odwrotnych
\(\displaystyle{ \wedge}\) - -||-
5. Nie wiem jak sprawdzić rozdzielność.